Krustiskā attiecība

Punkti $A,B,C,D$ un $A',B',C',D'$ ir saistīti ar projektīvu transformāciju(kolineāciju) tā, ka to krustiskās attiecības $(A,B,C,D)$ un $(A',B',C',D')$ ir vienādas.

Ar krustisko attiecību projektīvajā ģeometrijā var mērīt garumus dzīvē. No fotogrāfijas perspektīvas var iegūt visus attālumus, tad, iegūstot divus attālumus no reāliem mērījumiem, trešo var aprēķināt.

Krustiskā attiecība ir koeficients ģeometrijā, kurš ir piesaistīts četriem kolineāriem punktiem, konkrētāk punktiem, kas atrodas uz projektīvas līnijas. Šo koeficientu mēdz dēvēt arī par divkāršo attiecību un anharmonisko attiecību. Priekš četriem punktiem $A,B,C,D$ uz vienas līnijas, to krustisko attiecību definē kā:

$(A,B,C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}$

Ja kāds no punktiem ir satekpunkts(punkts bezgalībā, horizontā), tad garumus, kas satur šo punktu, noņem no formulas.

Krustiskā attiecība ir invariants lineāru daļu transformācijām. Tas ir vienīgais projektīvās transformācijas (kolineācijas) invariants četriem kolineāriem punktiem, šis koeficients ir svarīgs projektīvajā ģeometrijā.

Projektīvā ģeometrija

Krustiskā attiecība ir projektībās ģeometrijas invariants, tas saglabā savu vērtību pēc projektīvām transformācijām, kas iedarbojas uz projektīvu līniju. Krustiskā attiecība ir nepārprotama, jo nav atkarīga no sākumpunkta un mēroga. Papildus izpildās: ja $\{L_{i}|1\leq i\leq 4\}$ ir četras līnijas, kas krustojas punktā $Q$, tad jebkura līnija $L$, kas nekrusto punktu $Q$ krustosies ar $L_{i}$līnijām četros unikālos punktos $P_{i}$(ja šī līnija $L$ ir paralēla kādām no $L_{i}$ līnijām, tad tās krustosies satekpunktā). Izrādās, ja krustisko attiecību ņem secīgiem punktiem, tad tā nav atkarīga no līnijas $L$.

Pierādījums

Ja četras līnijas krustojas punktā $Q$, tad jebkurai līnijai $L$, kas krustojas ar līnijām $L_{i}$ punktos $A,B,C,D$ eksistē tāds augstums $h$, kas ir perpendikuls taisnei $L$. Iespējams aprēķināt trijstūru laukumus:

${\begin{aligned}S(\triangle AQC)={\frac {AC\cdot h}{2}}={\frac {AQ\cdot CQ\cdot \sin({\angle AQC)}}{2}}\\S(\triangle BQD)={\frac {BD\cdot h}{2}}={\frac {BQ\cdot DQ\cdot \sin({\angle BQD)}}{2}}\\S(\triangle AQD)={\frac {AD\cdot h}{2}}={\frac {AQ\cdot DQ\cdot \sin({\angle AQD)}}{2}}\\S(\triangle BQC)={\frac {BC\cdot h}{2}}={\frac {BQ\cdot CQ\cdot \sin({\angle BQC)}}{2}}\\\end{aligned}}$

Var redzēt, ka $(A,B,C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}={\frac {S(\triangle AQC)\cdot S(\triangle BQD)}{S(\triangle AQD)\cdot S(\triangle BQC)}}$, ja izmanto augstumu formulu laukumiem.

Ja izmanto sinusu formulas laukumiem, tad krustiskā attiecība ir vienāda ar $(A,B,C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}={\frac {\sin {\angle AQC}\cdot \sin {\angle BQD}}{\sin {\angle AQD}\cdot \sin {\angle BQC}}}$ un tā kā šie leņķi nav atkarīgi no patvaļīgās līnijas $L$, tad krustiskā attiecība ir invariants šīm līnijām.