Rombs

Vikipēdijas lapa
Jump to navigation Jump to search
Rhombus.svg

Eiklīda ģeometrijā rombs ir vienkāršs, izliekts četrstūris, kura četras malas ir vienāda garuma. Cits nosaukums ir vienādmalu četrstūris, kopš vārds vienādmalu nozīmē to, ka visas malas ir vienādas pēc garuma. Rombu bieži sauc arī par dimantu, pateicoties dimantam spēļu kārtīs, kurš līdzinās astoņstūru dimanta projekcijai. Katrs rombs ir paralelograms. Rombs ar taisniem leņķiem ir kvadrāts.[1][2]

Etimoloģija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vārds “rombs’ nāk no grieķu ῥόμβος (rhombos), nozīmē kaut ko,kas griežas,[3] kas izriet no darbības vārda ῥέμβω (rhembō) nozīmes “griezt uz riņķi”.[4] Vārdu izmantoja gan Eiklīds, gan Arhimēds, kurš lietoja terminu “romba ķermenis” par diviem taisniem apļveida konusiem, dalot kopīgu pamatu.[5] Virsma, ko sauc par rombu, ir šī “romba ķermeņa” šķērsgriezums caur katru no konusa virsotnēm.

Kvadrāts ir romba speciālgadījums, savukārt rombs ir "pūķa" un paralelograma speciālgadījums

Raksturojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vienkāršs izliekts četrstūris ir rombs tad un tikai tad, ja tas ir viens no sekojošajiem:[6][7]

  • paralelograms, kura diagonāle ir iekšējā leņķa bisektrise
  • paralelograms, kuram vismaz divas sekojošas malas ir vienāda garuma
  • paralelograms, kura diagonāles ir perpendikulāras (ortodiagonāls paralelograms)
  • četrstūris, kura visas četras malas ir vienāda garuma (pēc definīcijas)
  • četrstūris, kurā katra diagonāle pārdala uz pusēm divus pretējos iekšējos lenķus
  • četrstūris ABCD ar punktu P šajā plaknē, ka trijstūri ABP,BCP, CDP un DAP ir līdzīgi.[8]

Galvenās īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Katram rombam ir divas diagonāles, kas savieno divas pretējās malas un divi pāri ar paralēlām malām. Izmantojot līdzīgus trijstūrus, var pierādīt, ka rombs ir simetrisks pret katru no šīm diagonālēm. No tā izriet, ka jebkuram rombam ir spēkā šādas īpašības:

  • romba pretējie leņķi ir vienādi
  • romba diagonāles ir perpendikulāras, t.i., rombs ir ortodiagonāls četrstūris
  • romba diagonāle ir leņķu bisektrise
  • katrā rombā var ievilkt riņķa līniju
  • katra romba diagonāle ir tā simetrijas ass.

Pirmā īpašība norāda, ka katrs rombs ir paralelograms. Tāpēc rombam piemīt visas paralelograma īpašības, kā piemēram, pretējās malas ir paralēlas, pretējie leņķi ir vienādi, diagonāles krustojoties dalās uz pusēm, jebkura līnija, kas novilkta caur diagonāļu krustpunktu sadala laukumu divās vienādās daļās un sānu malu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāļu kvadrātu summu (paralelograma likums). Tādējādi, apzīmējot romba malu ar un diagonāles ar un , iegūst .

Ne katrs paralelograms ir rombs, lai gan paralelograms ar perpendikulārām diagonālēm (otrā īpašība) ir rombs. Kopumā jebkurš četrstūris ar perpendikulārām diagonālēm ir "pūķis" jeb deltoīds, un jebkurš četrstūris, kurš ir gan pūķis, gan paralelograms, ir rombs.

Rombs ir tangenciāls četrstūris,kurā var ievilkt riņķa līniju. [9]

Laukums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Rombs ABCD

Kā jau visiem paralelogramiem, arī romba laukums S ir pamata un augustuma reizinājums. Pamats ir pilnīgi jebkura romba mala a:

Laukumu vēl var izteikt kā malas kvadrāta reizinājumu ar jebkura leņķa sinusu:

vai augstuma kvadrāta attiecību ar leņķa sinusu:

vai pusi no diagonāļu reizinājumu:

vai kā divkāršotu malas un ievilktās riņķa līnijas rādius reizinājumu:

Vēl viens veids, kas kopīgs ar paralelogramu, ir pieņemt divas blakus esošās malas kā vektorus, kas veido "bivector" (angļu val.) , tādā veidā laukums ir vienāds ar "bivector" lielumu, kurš, savukārt, ir divu vektoru "Cartesian" (angļu val.) koordināšu determinants: K = x1y2 – x2y1.[10]

Diagonāles[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Diagonāļu garumu p=AC un q=BD var izteikt kā

un

Šīs formulas ir tiešas sekas no kosinusa teorēmas.

Ievilktās riņķa līnijas rādiuss[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ievilktās riņķa līnijas rādiusu, apzīmēts ar r, var izteikt ar diagonāļu p un q palīdzību:[9]

Divējādās īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Romba divējādais daudzstūris ir taisnstūris:[11]

  • Romba visas malas ir vienādas, savukārt taisnstūra visi leņķi ir vienādi.
  • Romba pretējie leņķi ir vienādi, savukārt taisnstūra pretējās malas ir vienādas. 
  • Rombā var ievilkt riņķa līniju, savukārt taisnstūrim var apvilkt riņķa līniju.
  • Rombam ir simetrijas ass, kas vilkta caur pretējiem leņķiem, savukārt taisnstūrim ir simetrijas ass, kas vilkta caur pretējo malu viduspunktiem.
  • Romba diagonāles krustojoties sadala leņķi divās vienādās daļās, kamēr taisnstūra diagonāles krustojoties dalās uz pusēm.
  • Figūra, kas izveidojas, savienojot romba malu viduspunktus, ir taisnstūris, un otrādi.

Vienādojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Romba malas, novietotas centrā (sākumpunktā) ar diagonālēm, kas  atrodoties uz asīm, sastāvot no punktiem, kas apmierina sekojošu vienādojumu:

Virsotnes atrodas un Šis ir superelipses speciālgadījums ar eksponenti 1.

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Note: Euclid's original definition and some English dictionaries' definition of rhombus excludes squares, but modern mathematicians prefer the inclusive definition.
  2. Eric W. Weisstein, Square, MathWorld. inclusive usage
  3. ῥόμβος, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
  4. ρέμβω, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
  5. «The Origin of Rhombus». www.pballew.net. Skatīts: 2017-12-05.
  6. Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 55-56.
  7. Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, p. 53.
  8. Paris Pamfilos (2016), "A Characterization of the Rhombus", Forum Geometricorum 16, pp. 331–336, [1]
  9. 9,0 9,1 Eric W Weisstein. «Rhombus». Skatīts: 05.12.2017..
  10. WildLinAlg episode 4, Norman J Wildberger, Univ. of New South Wales, 2010, lecture via youtube
  11. de Villiers, Michael, "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons", Mathematical Gazette 95, March 2011, 102-107.