Ptolemaja teorēma

Ptolemaja teorēma ir sakarība starp ievilkta četrstūra garumiem.$\definecolor {V}{rgb}{0.5803921568627451,0,0.8274509803921568}\definecolor {B}{rgb}{0,0,1}\definecolor {R}{rgb}{0.8,0,0}{\color {V}AC}\cdot {\color {V}BD}={\color {B}AB}\cdot {\color {B}CD}+{\color {R}BC}\cdot {\color {R}AD}$

Ptolemaja teorēma ir sakarība ievilktā četrstūrī starp tā malām un diagonālēm. Ptolemajs to izmantoja, lai aprēķinātu hordu garumus dažādiem leņķiem no kā var iegūt, piemēram, sinusa vērtību tabulu. Ja ievilktā četrstūra virsotnes ir secīgi A, B, C, D, tad teorēma apgalvo, ka $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$.

Ar Ptolemaja teorēmu var pierādīt dažādas citas teorēmas, piemēram, Pitagora teorēmu, kosinusu teorēmu, sinusa leņķu summu, sinusa leņķu starpību, kosinusa leņķu summu.

Pierādījums ar līdzīgiem trijstūriem

1) Tiek atrasti vienādie leņķi ($\angle BAC=\angle BDC$un $\angle ACB=\angle ADB$) kā arī definēti leņķi ($\angle CBD=\angle ABK$), no kā izriet $\angle CBK=\angle ABD$. 2) Tiek atrasti līdzīgie trijstūri $\triangle ABK\sim \triangle BCD$ un $\triangle ABD\sim \triangle CBK$.3) Tiek iegūtas līdzīgo trijstūru malu attiecības ${\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}}$ un ${\frac {AD}{BD}}={\frac {CK}{BC}}$ un tās summējot iegūst meklēto $BD\cdot AC=CD\cdot AB+AD\cdot BC$.

Ievilktam četrstūrim ABCD ievilktie leņķi $\angle BAC$ un $\angle BDC$ attiecas uz vienu loku ${\overset {\frown }{BC}}$, tādēļ tie ir vienādi. Pēc tās pašas argumentācijas ievilktie leņķi $\angle ACB$ un $\angle ADB$ attiecas uz loku ${\overset {\frown }{AB}}$, tādēļ tie ir vienādi. Var ieviest tādu punktu $K$ uz līnijas $AC$, ka izpildās $\angle CBD=\angle ABK$. No tā var secināt, ka $\angle ABK+\angle CBK=\angle ABC$ un $\angle ABD+\angle CBD=\angle ABC$, tad pielīdzinot un atceroties, ka $\angle ABK=\angle CBD$ iegūst $\angle CBK=\angle ABD$.

Tagad trijstūriem $\triangle ABK$ un $\triangle BCD$ ir divi vienādi leņķi ($\angle BAK=\angle BDC$ un $\angle ABK=\angle CBD$), tādēļ tie ir līdzīgi trijstūri $\triangle ABK\sim \triangle BCD$. Pēc tās pašas argumentācijas trijstūriem $\triangle ABD$ un $\triangle CBK$ ir divi kopīgi leņķi ($\angle ABD=\angle CBK$ un $\angle ADB=\angle BCK$), tādēļ tie ir līdzīgi trijstūri $\triangle ABD\sim \triangle CBK$.

Līdzīgi trijstūri saglabā malu attiecības, tādēļ no līdzīgiem trijstūriem $\triangle ABK\sim \triangle BCD$ iegūst ${\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}}$ un no līdzīgiem trijstūriem $\triangle ABD\sim \triangle CBK$ iegūst ${\frac {AD}{BD}}={\frac {CK}{BC}}$. Katrā izteiksmē pareiznot ar saucējiem iegūst: $AK\cdot BD=CD\cdot AB$ un $AD\cdot BC=CK\cdot BD$. Summējot abas izteiksmes iegūst: $AK\cdot BD+CK\cdot BD=CD\cdot AB+AD\cdot BC$, iznesot kopējo reizinātāju: $BD(AK+CK)=CD\cdot AB+AD\cdot BC$, savukārt $AK+CK=AC$, tādēļ ievietojot iegūst $BD\cdot AC=CD\cdot AB+AD\cdot BC$ Q.E.D.

Šis pierādījums izpildās tikai, ja četrstūra malas viena otru nešķērso, taču teorēma ir spēkā arī šķērsojošu malu gadījumā.