Dzimis Lubānas pagasta "Aizpurvos" ("Aizpurvniekos"), Andreja un Elīzes Vilku ģimenē. Mācījies Lubānā un Rēzeknē, 1924. gadā iestājies Latvijas Universitātes Medicīnas fakultātē, ko absolvēja 1928. gadā ar ārsta diplomu. Lai arī visu mūžu strādājis par ārstu, tomēr K. Vilka galvenais aicinājums bija ornitoloģija, kam aktīvi pievērsās vismaz no 1925. gada, kad sāka darboties Nikolaja fon Tranzē izveidotajā Latvijas Ornitoloģijas centrālē. Pēc augstskolas beigām strādājis Ancē, Mežamuižā (Meirānu pagastā), Lejasciemā, Nauļānos. Galvenās ornitoloģisko pētījumu tēmas starpkaru periodā: putnu gredzenošana, faunistika, purva putni, plēsīgie putni. 1930. gados pirmo reizi pierādījis lietuvaiņa ligzdošanu Latvijā.
1940. gadā pārcēlies uz Jelgavu, kur strādāja par psihiatru Ģintermuižas psihoneiroloģiskajā slimnīcā, vienlaikus arī lasījis lekcijas Lauksaimniecības akadēmijā. Pēc kara pārcēlies uz Rīgu, bet 1946. gadā uz Strenčiem, kur strādāja psihoneiroloģiskajā slimnīcā un nodzīvoja līdz mūža beigām. Tā kā liela daļa Latvijas ornitologu īsi pirms kara vai kara gados bija atstājuši Latviju, K. Vilks kopā ar Egonu Tauriņu kļuva par pēckara gadu vadošajiem ornitologiem. Viņš izveidoja Rīgas (vēlāk Latvijas) Ornitoloģisko staciju, aktīvi turpināja putnu gredzenošanu, kā arī pievērsās etoloģijai, veica pētījumus putnu būrīšu parauglaukumos. Ar referātiem uzstājies ornitoloģiskajās konferencēs, arī ārpus Latvijas. 1985. gadā K. Vilku ievēlēja par Latvijas Ornitoloģijas biedrības Goda biedru, bet 1986. gadā par PSRS Ornitoloģijas biedrības Goda biedru. 1986. gadā izdota viņa grāmata “Atmiņas par putniem”.[2]
Dzīvesbiedre Lidija Vilks. Miris 93 gadu vecumā Strenčos, apglabāts Strenču kapsētā. K. Vilka meita Ieva Vilks, mazmeita Ilze Priedniece un mazmazmeita Ance Priedniece arī ir ornitoloģes.
