Teilora rinda

Pieaugot atvasināto polinomu skaitam, Teilora rinda tuvojas oriģinālajai funkcijai. Attēlā redzams, kā var aptuvenot sin(x) funkciju, izmantojot 1., 3.., 5., 7., 9., 11., 13. pakāpes polinomus, kad x = 0

Teilora rinda, kas izvirzīta ap punktu $x=0$ tuvojas eksponenfunkcijas grafikam

Teilora rinda matemātikā ir funkcijai, kam punktā a eksistē visu kārtu atvasinājumi, piekārtota rinda, kuras parciālsummas ir polinomi. Šo rindu 1715. gadā publicējis angļu matemātiķis Bruks Teilors (Brook Taylor).

Teilora rindu pieraksta šādi:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots ,$

kur $n!$ ir n faktoriāls un $f^{(n)}(a)$ ir funkcijas $f$ n-tās kārtas atvasinājums punktā a.

Gadījumā, ja a = 0, tad šo rindu sauc par Maklorena rindu (nosaukta skotu matemātiķa Kolina Maklorena (Colin Maclaurin) vārdā).

Funkciju izvirzījumi pakāpju rindās

Pieņemsim, ka eksistē pakāpju rinda $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$, kas intervālā $x\in (-R,R)$ konverģē uz funkciju $f(x)$. Tad iespējams pierādīt, ka šīs rindas koeficienti ir $a_{n}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}(n=0,1,2,...)$.

Pierādījuma skice

Izrakstot rindu:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{n}x^{n}+...$, ievietojot $x=0$ iegūst $f(0)=a_{0}$

$f'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+...+na_{n}x^{n-1}+...$, ievietojot $x=0$ iegūst $f'(0)=a_{1}$

Šo procesu turpinot iegūst citas atvasinājumu vērtības: $f''(0)=2a_{2}$, $f'''(0)=3\cdot 2\cdot a_{3}$, $f^{(4)}(0)=4\cdot 3\cdot 2\cdot a_{4}$, $f^{(n)}(0)=n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot 2\cdot 1\cdot a_{n}$, līdz ar to

$a_{n}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}(n=0,1,2,...)$.

Šo izvirzījumu rindā sauc par Teilora rindu ap punktu $x=0$, ir iespējams izvirzīt rindu ap citiem punktiem, bet šis pierādījums to neapskata.

Dažu funkciju izvirzījumi Maklorena rindā

Eksponentfunkcija:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \quad {\text{ visiem }}x\!$

Naturāllogaritms:

$\ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}\quad {\text{, kur }}|x|<1$

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}\quad {\text{, kur }}|x|<1$

Ģeometriskā rinda:

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad {\text{, kur }}|x|<1\!$

Binomiālā rinda:

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\text{ visiem }}|x|<1{\text{ un kompleksajiem }}\alpha \!$

ar vispārinātiem binomiālkoeficientiem

${\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$

Trigonometriskās funkcijas:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \quad {\text{ visiem }}x\!$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \quad {\text{ visiem }}x\!$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots \quad {\text{, kur }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\text{, kur }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\text{, kur }}|x|\leq 1\!$

$\arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\text{, kur }}|x|\leq 1\!$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\text{, kur }}|x|\leq 1,x\not =\pm i\!$

Hiperboliskās funkcijas:

$\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \quad {\text{ visiem }}x\!$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \quad {\text{ visiem }}x\!$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots \quad {\text{, kur }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

$\mathrm {arcsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\text{, kur }}|x|\leq 1\!$

$\mathrm {arctanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\quad {\text{, kur }}|x|\leq 1,x\not =\pm 1\!$