Riņķa līnija

Riņķa līnija

Riņķa līnija ir visu to plaknes punktu kopa, kuri atrodas vienādā attālumā no kāda fiksēta plaknes punkta. Šo punktu sauc par riņķa līnijas centru, bet attālumu — par tās rādiusu. Riņķa līnijas un riņķa jēdzieni ir cieši saistīti, taču nav identiski. Riņķis ir riņķa līnijas iekšpuse jeb plaknes daļa, ko ierobežo riņķa līnija un kurā atrodas tās centrs.

Senāks riņķa līnijas nosaukums latviešu valodā ir aploce.

Riņķa līnija ir elipses īpašs gadījums, kad abi tās fokusi sakrīt vai abas pusasis ir vienāda garuma. Riņķa līnijas vispārinājums trīs dimensijās ir sfēra.

Ar riņķa līniju saistīti jēdzieni

rādiuss

Rādiuss ir nogrieznis, kas savieno riņķa līnijas centru ar kādu no tās punktiem. Šī nogriežņa garumu arī mēdz saukt par rādiusu un parasti apzīmē ar r vai R.

diametrs

Hordu, kas vilkta caur centru, sauc par diametru. Diametru parasti apzīmē ar d vai D. Diametra garums ir vienāds ar divkāršotu rādiusa garumu.

sekante

Taisni, kas vilkta cauri diviem dažādiem riņķa līnijas punktiem, sauc par sekanti.

horda

Sekantes daļu, kas atrodas riņķa līnijas iekšpusē, sauc par hordu. Jo tuvāk horda atrodas riņķa līnijas centram, jo tā garāka. Ja divas vienā riņķa līnijā novilktas hordas krustojas, tad krustpunkts sadala katru hordu divos nogriežņos tā, ka abu pirmās hordas nogriežņu garumu reizinājums ir vienāds ar abu otrās hordas nogriežņu garumu reizinājumu.

pieskare

Pieskare ir sekante, kas iet caur diviem riņķa līnijas punktiem, kuri sakrīt. Pieskarei un riņķa līnijai ir tikai viens kopīgs punkts. Rādiuss, kas vērsts no centra uz šo punktu, ir perpendikulārs pieskarei. Abi riņķa līnijas pieskaru nogriežņi, kas novilkti no jebkura plaknes punkta, kurš atrodas ārpus riņķa līnijas, ir vienāda garuma un veido vienādus leņķus ar taisni, kas iet caur šo punktu un riņķa līnijas centru.

loks

Riņķa līnijas daļu starp diviem tās punktiem sauc par loku. Jebkuru loku pilnībā raksturo divi lielumi: loka rādiuss un leņķis.

Riņķa līnijas īpašības

Jebkurai riņķa līnijai piemīt šādas īpašības:

• ja riņķa līniju pagriež ap tās centru pa jebkuru leņķi, tā sakrīt pati ar sevi;
• jebkura taisne, kas iet caur riņķa līnijas centru, ir tās simetrijas ass;
• riņķa līnijas smaguma centrs sakrīt ar tās centru;
• riņķa līnijas centrs ir tās simetrijas centrs;
• riņķa līnijai ir konstants liekuma rādiuss;
• riņķa līnija ar garumu l ierobežo vislielāko laukumu, kādu var ierobežot noslēgta plaknes līnija ar garumu l.

Riņķa līnijas garuma aprēķināšana

Riņķa līnijas garums ir

$C=2\pi r=\pi d,\,$

kur r — rādiuss, d — diametrs, $\pi \,$ — konstante pī.

Riņķa līnijas loks

Riņķa līnijas loka garums ir:

$\ l={\frac {\pi r\alpha }{180^{\circ }}}$

kur $\pi$ - konstante pī, r - radiuss un $\alpha$ - centra leņķa lielums.

Riņķa līnijas loku var atrast pret centra leņķi, kurš balstās uz loku. Loka leņķiskais lielums ir vienāds ar centra leņķi, kurš balstās uz loku.

Apvilktas riņķa līnijas

Saka, ka riņķa līnija ir apvilkta daudzstūrim jeb daudzstūris ir ievilkts riņķa līnijā, ja visas daudzstūra virsotnes atrodas uz riņķa līnijas.

Trijstūrim

Jebkuram trijstūrim var apvilkt riņķa līniju vienā vienīgā veidā. Tās centrs atrodas trijstūra malu vidusperpendikulu krustpunktā. Trijstūrim apvilktas riņķa līnijas centrs ne vienmēr atrodas trijstūra iekšpusē (platleņķa trijstūrim apvilktas riņķa līnijas centrs atrodas ārpus trijstūra). Regulāram trijstūrim apvilktas riņķa līnijas centrs atrodas uz trijstūra augstuma un sadala to attiecībā 2:1, skaitot no trijstūra virsotnes. Ap taisnleņķa trijstūri apvilktas riņķa līnijas centrs atrodas tā hipotenūzas viduspunktā.

Četrstūrim

Ap četrstūri var apvilkt riņķa līniju tad un tikai tad, ja tā pretējo leņķu summa ir 180°.

Regulāram daudzstūrim

Ap jebkuru regulāru daudzstūri var apvilkt vienu vienīgu riņķa līniju.

Ievilktas riņķa līnijas

Saka, ka riņķa līnija ir ievilkta daudzstūrī jeb daudzstūris ir apvilkts riņķa līnijai, ja riņķa līnija pieskaras visām daudzstūra malām.

Trijstūrim

Jebkurā trijstūrī var ievilkt vienu vienīgu riņķa līniju, un tās centrs atrodas šī trijstūra leņķu bisektrišu krustpunktā. Trijstūra laukums ir vienāds ar tā pusperimetra un ievilktas riņķa līnijas rādiusa reizinājumu. Ja regulārā trijstūrī ir ievilkta riņķa līnija, tad šīs riņķa līnijas centrs atrodas uz tā augstuma un sadala to attiecībā 1:2, skaitot no trijstūra pamata, turklāt īsākais no iegūtajiem nogriežņiem ir ievilktās riņķa līnijas rādiuss.

Četrstūrim

Četrstūrī var ievilkt riņķa līniju tad un tikai tad, ja tā pretējo malu garumu summas ir vienādas. Ja četrstūrī var ievilkt riņķa līniju, tad tā laukumu var aprēķināt kā pusperimetra un ievilktās riņķa līnijas rādiusa reizinājumu.

Regulāram daudzstūrim

Jebkurā regulārā daudzstūrī var ievilkt vienu vienīgu riņķa līniju. Regulāra daudzstūra laukums ir vienāds ar daudzstūra pusperimetra un daudzstūrī ievilktās riņķa līnijas rādiusa reizinājumu.

Riņķa līnijas vienādojums

Polārajā koordinātu sistēmā

Polārajā koordinātu sistēmā riņķa līniju, kuras centrs sakrīt ar koordinātu sākumpunktu, apraksta vienādojums:

$r=R,\,$

kur R ir tās rādiuss. Šis vienādojums ir analogs taisnes vienādojumam y = a Dekarta koordinātu sistēmā, kas apraksta taisni, kas paralēla x asij un atrodas augstumā a virs tās.

Dekarta koordinātu sistēmā

Dekarta koordinātu sistēmā riņķa līniju nevar aprakstīt ar vienu y = f(x) tipa vienādojumu, jo vienai x vērtībai var atbilst divas y vērtības. Ja riņķa līnijas centrs atrodas koordinātu sākumpunktā, tad to apraksta vienādojums

$x^{2}+y^{2}=R^{2},\,$

kur R ir riņķa līnijas rādiuss. Šajā vienādojumā y ir apslēpta funkcija no x. Izsakot y, iegūst:

$y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}.$

Šajā vienādojumā plus un mīnus zīme atbilst attiecīgi augšējam un apakšējam riņķa līnijas puslokam. Ja riņķa līnijas centrs neatrodas koordinātu sākumpunktā, tad to apraksta vienādojums

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2},\,$

kur x₀ un y₀ ir riņķa līnijas centra koordinātas.

Parametriskā formā riņķa līniju apraksta vienādojumu sistēma:

${\begin{aligned}x&=x_{0}+R\cos t,\\y&=y_{0}+R\sin t,\end{aligned}}$

kur parametrs t, kas mainās no 0 līdz 2π, atbilst leņķim, kādu ar koordinātu x asi veido stars, kas "zīmē" riņķa līniju.

Vēsture

Riņķa līnijas bija zināmas jau pirms rakstītās vēstures. Tās ir riteņa pamats, kas kopā ar tādu izgudrojumu kā zobrats padara iespējamu moderno civilizāciju. Matemātikā riņķa līniju pētīšana palīdzēja attīstīties ģeometrijai un matemātiskajai analīzei.

Skatīt arī

• Cikloīda
• Elipse
• Lode
• Riņķis
• Sfēra

Papildu literatūra

• Vigodskis M., Elementārās matemātikas rokasgrāmata, 1967, Rīga.

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Circle, MathWorld.