Kinemātika

Materiālā punkta kinemātiku raksturojošie lielumi: masa m, rādiusvektors r, ātrums v, paātrinājums a

Kinemātika ir mehānikas nozare, kas pēta fizikālu ķermeņu kustību no ģeometriskā viedokļa, tas ir, nosaka ķermeņa stāvokli jebkurā laika momentā. Šajā nozarē netiek pētīti spēki, kas darbojas uz ķermeņiem un izraisa to kustību. To pēta dinamikā.

Kinemātikas sadaļas

Kinemātiku iedala sadaļās atkarībā no pētāmo objektu īpāšībām.

• Punkta kinemātika pēta materiālu punktu kustību.
• Cieta ķermeņa kinemātika pēta absolūti cietu ķermeņu kustību.
• Gāzes kinemātika pēta gāzu kustību.
• Deformējama ķermeņa kinemātika un šķidruma kinemātika pēta deformējamas, nepārtrauktas vides kustību.

Kinemātikas jēdzieni

• Ķermenis — jebkurš objekts.
• Materiāls punkts — ķermenis, kura izmērus un formu var neievērot.
• Absolūti ciets ķermenis — ķermenis, starp kura punktiem esošais attālums jebkādos apstākļos saglabājas nemainīgs.
• Kustība — ķermeņa stāvokļa maiņa telpā.
• Rotācija — kustība pa riņķa līniju, to raksturo rotācijas periods $T$, rotācijas frekvence $\nu$, leņķiskā frekvence $\omega$. $T$ ir laika intervāls, pēc kura kustība atkārtojas (veikts attālums, kas vienāds ar riņķa līnijas garumu). $\nu =1/T$ kustības atkārtojumu skaits laika vienībā. $\omega =2\pi \nu ={\frac {2\pi }{T}}$ izsaka leņķi, par kuru rotējošā ķermeņa rādiusvektors pagriežas laika vienībā.
• Atskaites sistēma — kustības novērošana attiecībā pret kaut kādu atskaites ķermeni, to attēlo koordinātu sistēmā; atskaites sistēmas, kas, pēc Galileja relativitātes principa, saistītas ar relatīvā miera stāvoklī vai vienmērīgā taisnvirziena kustībā esošiem ķermeņiem, sauc par inerciālām atskaites sistēmām (visās šādās sistēmās pastāv vienas un tās pašas kustības likumsakarības), piemēram, saistībā ar tālām zvaigznēm, masīviem ķermeņiem uz Zemes, ar Zemi saistītas atskaites sistēmas, ja var neievērot Zemes rotāciju un orbitālo kustību.
• Pārvietojums ${\vec {s}}$ — no materiāla punkta kustības sākumpunkta uz kustības beigupunktu vērsts vektors.
• Ceļš $l$ — trajektorijas garums no kustības sākumpunkta līdz beigupunktam; vienvirziena, taisnlīnijas kustībā $l=\left\vert {\vec {s}}\right\vert =s$ .
• Laiks $t$ — materiālam punktam pārvietojoties, tā kinemātiskie raksturlielumi — koordinātas $x=x(t);y=y(t);z=z(t)$, rādiusvektors ${\vec {r}}={\vec {r}}(t)$, pārvietojums ${\vec {s}}={\vec {s}}(t)$, ceļš $l=l(t)$ — ir laika funkcijas.
• Ātrums $v$ — kinemātisko raksturlielumu izmaiņu straujums.
  1) Vidējais vektoriālais ātrums ${\vec {v_{v}}}$ — materiāla punkta rādiusvektora izmaiņa ${\vec {\Delta r}}$ jeb pārvietojums ${\vec {s}}$ galīgā laika intervālā $\Delta t$ :

${\vec {v_{v}}}={\frac {\vec {\Delta r}}{\Delta t}}={\frac {\vec {s}}{\Delta t}}$.

2) Momentānais ātrums ${\vec {v}}$ — materiāla punkta ātrums laika momentā $t$. Ja momentā $t$ materiālais punkts atrodas punktā $M$un vēlākā laika momentā $t_{1}=t+\Delta t$ tas atrodas punktā $M_{1}$, tad momentānais ātrums laika momentā $t$ ir vidējā vektoriālā ātruma robeža, kad $t_{1}\rightarrow t$ un $M_{1}\rightarrow M$ :

${\vec {v}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\vec {\Delta r}}{\Delta t}}={\frac {\vec {dr}}{dt}}$ . Tātad momentānais ātrums ir materiālā punkta rādiusvektora ${\vec {r}}$ atvasinājums pēc laika $t$.

3) Vidējais skalārais ātrums ${\bar {v}}$ — ceļš $\Delta l$, kuru materiāls punkts veic galīgā laika intervālā $\Delta t$ :

${\bar {v}}={\frac {\Delta l}{\Delta t}}$.

Ja momentānais ātrums ir nemainīgs ${\vec {v}}=const$, tad kustība ir vienmērīga. Ja momentānais ātrums ir mainīgs ${\vec {v}}\neq const$, tad kustība ir nevienmērīga.

4) Leņķiskais ātrums $\omega$ — rādiusvektora galapunkta laikā $\Delta t$ veiktais pagrieziena leņķis $\Delta \varphi$ :

$\omega ={\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}$.

• Paātrinājums $a$ — ātruma izmaiņu straujums.
  1) Vidējais paātrinājums ${\vec {a_{v}}}$ — momentānā ātruma izmaiņa ${\vec {\Delta v}}$ galīgā laika intervālā $\Delta t$ :

${\vec {a_{v}}}={\frac {\vec {\Delta v}}{\Delta t}}$.

2) Momentānais paātrinājums ${\vec {a}}$ — paātrinājums laika momentā $t$ :

${\vec {a}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\vec {\Delta v}}{\Delta t}}={\frac {\vec {dv}}{dt}}$. Tātad momentānais paātrinājums ir materiāla punkta ātruma ${\vec {v}}$ atvasinājums pēc laika $t$. Ja paātrinājums ir nemainīgs ${\vec {a}}=const$, kustība ir vienmērīgi paātrināta.

3) Vidējais leņķiskais paātrinājums ${\bar {\varepsilon }}$ — leņķiskā ātruma izmaiņa $\Delta \omega$ galīgā laika intervālā $\Delta t$ :

${\bar {\varepsilon }}={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}$.

4) Momentānais leņķiskais paātrinājums $\varepsilon$ — paātrinājums laika momentā $t$ :

$\varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}$. $\varepsilon$ ir $\omega$ atvasinājums pēc laika.

Materiāla punkta kinemātika

Taisnvirziena kustība

Vienmērīga taisnvirziena kustība

Vienmērīgā taisnvirziena kustībā ātrums ir nemainīgs, nav paātrinājuma, kustības trajektorija ir taisne, materiāla punkta pārvietojums ir proporcionāls kustības laikam.

Pārvietojuma vektors laika momentā: ${\vec {s}}={\vec {v}}\Delta t$.

Rādiusvektors laika momentā: ${\vec {r}}(t)={\vec {r_{0}}}+{\vec {v}}\Delta t$.

${\vec {r}}$ vai ${\vec {v}}$ projekcija uz koordinātu asīm: $x(t)=x_{0}+v_{x}\Delta t$; $y(t)=y_{0}+v_{y}\Delta t$; $z(t)=z_{0}+v_{z}\Delta t$.

Būtībā šāda veida kustības attēlojums telpā $x,y,z$ nav nepieciešams, pietiek ar plakni $x,y$ vai taisni $x$, vienu no koordinātu asīm orientējot ${\vec {r}}$ vai ${\vec {v}}$ virzienā.

Vienmērīgi paātrināta kustība

Vienmērīgi paātrinātas kustībai ir nemainīgs paātrinājums.

Ātrums laika momentā: ${\vec {v}}(t)=v_{0}+a\Delta t$, kur $v_{0}$ ir sākuma ātrums.

Pārvietojuma vektors laika momentā: ${\vec {s}}=v_{0}\Delta t+{\frac {{\vec {a}}\Delta t^{2}}{2}}$.

Rādiusvektors laika momentā: ${\vec {r}}(t)={\vec {r_{0}}}+{\vec {v_{0}}}\Delta t+{\frac {{\vec {a}}\Delta t^{2}}{2}}$.

${\vec {r}}$ vai ${\vec {v}}$ projekcija uz koordinātu asīm: $x(t)=x_{0}+{v_{0x}}\Delta t+{\frac {{a_{x}}\Delta t^{2}}{2}}$; $y(t)=y_{0}+{v_{0y}}\Delta t+{\frac {{a_{y}}\Delta t^{2}}{2}}$.

Paātrinājuma vektora ${\vec {a}}$ virzienam sakrītot ar sākuma ātruma vektora ${\vec {v_{0}}}$ virzienu, materiāla punkta kustība ir taisnvirziena. Ja ${\vec {a}}$ un ${\vec {v_{0}}}$ virzieni ir atšķirīgi, kustības trajektorija ir līkne. Ja ${\vec {a}}$ un ${\vec {v_{0}}}$ ir vienāds virziens, kustības paātrinājums ir pozitīvs (paātrināta kustība), ja ${\vec {a}}$ virzīts pretēji ${\vec {v_{0}}}$, kustības paātrinājums ir negatīvs (palēnināta kustība).

Materiāla punkta trajektorijas katrā punktā paātrinājuma vektoru ${\vec {a}}$ var uzrakstīt kā divu vektoru — tangenciālā paātrinājuma un normālā paātrinājuma — summu. Trajektorijas plaknē ar momentānā ātruma ${\vec {v}}$ un paātrinājuma ${\vec {a}}$ vektoriem tangenciālais paātrinājums ${\vec {a_{t}}}$ ir vērsts pa trajektrorijas pieskari jeb pa ${\vec {v}}$ virzienu, tas maina momentānā ātruma moduli $v$. Normālais paātrinājums ${\vec {a_{n}}}$ katrā trajektorijas punktā ir vērsts pa pieskares normāli uz trajektorijas liekuma centru, tas maina ātruma virzienu, izliecot trajektoriju, taisnvirziena kustībā ${\vec {a_{n}}}=0$.

Rotācijas kustība

Vienmērīga rotācijas kustība

Ja materiāls punkts vienmērīgi rotē, ${\vec {a_{t}}}=0$, $v=const$, $\omega =const$, un ${\vec {a_{n}}}={\vec {a}}$.

$\left\vert {\vec {a}}\right\vert =a_{n}$ $a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}$, kur $r$ ir riņķa līnijas rādiuss. Šī formula ir pareiza arī jebkurai līklīnījas kustībai, tad $r$ ir trajektorijas liekuma rādiuss konkrētajā punktā.

Ātrums kustībā pa riņķa līniju — lineārais ātrums $v$, bet rādiusvektora galapunkta laikā $\Delta t$ veiktais pagrieziena leņķis $\Delta \varphi$ — leņķiskais ātrums $\omega$, kas ir skaitliski vienāds ar leņķisko frekvenci $\omega$, tāpēc šos abus jēdzienus ne vienmēr izšķir. Leņķisko ātrumu attēlo kā vektoru ${\vec {\omega }}$, kas pielikts riņķa līnijas centram perpendikulāri rotācijas plaknei, un tas vērsts tā, kā kustas labās vītnes skrūve, to griežot materiāla punkta kustības virzienā.

Vienmērīgā rotācijas kustībā momentānā ātruma vektora modulis ir vienāds ar vidējo skalāro ātrumu:

$v={\bar {v}}={\frac {\Delta l}{\Delta t}}$, kur $\Delta l$ ir laikā $\Delta t$ noietā loka garums.

$\Delta l=2\pi r{\frac {\Delta t}{T}}$, kur $T$ ir rotācijas periods.

$v={\frac {2\pi r}{T}}=2\pi r\nu =\omega r$, kur $v$ ir lineārais ātrums, $\nu$ ir rotācijas frekvence, $\omega$ ir leņķiskā frekvence.

$\omega ={\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}={\frac {v\Delta \varphi }{\Delta l}}={\frac {v}{r}}$, kur $\omega$ ir leņķiskais ātrums.

$a_{n}=4\pi ^{2}\nu ^{2}r=\omega ^{2}r$

Nevienmērīga rotācijas kustība

Ja materiāls punkts nevienmērīgi rotē, tam piemīt ${\vec {a_{t}}}$, $v\neq const$, $\omega \neq const$.

Leņķiskā ātruma izmaiņu $\Delta \omega$ nosaka vidējais ${\bar {\varepsilon }}$ un momentānais $\varepsilon$ leņķiskais paātrinājums. Leņķisko paātrinājumu attēlo ar vektoru ${\vec {\varepsilon }}$, kas vērsts leņķiskā ātruma vektora ${\vec {\omega }}$ virzienā, ja $\omega$ palielinās, vai pretēji ${\vec {\omega }}$ virzienam, ja $\omega$ samazinās.

Ja ${\vec {\varepsilon }}=const$

$\omega (t)=\omega _{0}+\varepsilon \Delta t$, kur $\omega _{0}$ ir leņķiskais ātrums sākuma momentā;

$\varphi (t)=\varphi _{0}+\omega _{0}\Delta t+{\frac {\varepsilon \Delta t^{2}}{2}}$, kur $\varphi _{0}$ ir leņķa sākuma lielums;

$a_{t}=\varepsilon r$ .

Absolūti cieta ķermeņa kinemātika

Absolūti cieta ķermeņa kustības pamatveidi ir translācija jeb virzes kustība un rotācija jeb griezes kustība. Virzes kustība ir kustība, kurā katrs nogrieznis, kas savieno divus brīvi izvēlētus ķermeņa punktus, visā kustības laikā pārvietojas sev paralēli. Griezes kustība ap nekustīgu asi ir kustība, kurā visi ķermeņa punkti kustas pa riņķa līnijām, kas atrodas paralēlās plaknēs un kuru centri novietoti uz vienas rotācijas ass. Griešanās kustība ap nekustīgu punktu ir kustība, kurā visi ķermeņa punkti pārvietojas pa sfērām ar kopīgu rotācijas centru (to var uzskatīt arī par griešanos ap asi, kas iet caur rotācijas centru un laikā maina savu novietojumu). Sarežģītākas cieta ķermeņa kustības sastāv no pamatkustībām.

Absolūti cieta ķermeņa kinemātiku reducē uz materiāla punkta kinemātiku, par materiālu punktu parasti pieņemot ķermeņa masas centru.

Kinemātikas vēsture

Antīkajā fizikā, tostarp Aristoteļa darbos, tika izteikta atziņa, ka krišanas ātrums ir proporcionāls ķermeņa svaram un ka katrai kustībai nepieciešams cēlonis, izraisošais spēks. 16. gadsimta beigās Galileo Galilejs, izpētījis brīvo kritienu un ķermeņu inerci, secināja, ka Aristoteļa atzinumi ir aplami.

1700. gadā Pjērs Variņons Francijas Zinātņu akadēmijā ieviesa ātruma un paātrinājuma jēdzienus diferenciālrēķinu veidā, ko uzskata par mūsdienu kinemātikas sākumu. Andrē Ampērs pirmais izmantoja variāciju rēķinus kinemātikā.

Pēc speciālās relativitātes teorijas izstrādāšanas kinemātika attīstās relatīvistiskās fizikas ietvaros.