Skaitļu teorija

Skaitot kopā metamo kauliņu uzmestos ciparus, vienmēr iegūs rezultātu, kas izteikts kā vesels skaitlis

Skaitļu teorija ir matemātikas nozare, kas pēta veselo skaitļu īpašības un to savstarpējās sakarības. Dažreiz šī nozare tiek saukta par “augstāko aritmētiku”. Atsevišķi aprēķini ar konkrētiem skaitļiem, piemēram, $9+16=25$, nav īpaši interesanti un parasti neietilpst skaitļu teorijas priekšmetā, tomēr pasniedzot šo piemēru kā Pitagora teorēmu, tas ir, $3^{2}+4^{2}=5^{2}$, izteiksme kļūst par skaitļu teorijas apskates objektu. Svarīga veselo skaitļu īpašība, ko apskata skaitļu teorija, ir to dalāmība vienam ar otru. Nozīmīgākās problēmas, kas tiek apskatītas skaitļu teorijā, ir vienādojumu un vienādojumu sistēmu risināšana veselos skaitļos, un naturālo skaitļu sadalīšana pirmreizinātājos. Ilgu laiku skaitļu teorija bija teorētiska matemātikas apakšnozare bez lieliem praktiskiem pielietojumiem, bet līdz ar datoru attīstību, skaitļu teorija tiek pielietota datorgrafikā (jo datora ekrāns sastāv no pikseļiem, kas ir diskrēti objekti, tāpēc uz tiem attiecas skaitļu teorijas sakarības), kriptogrāfijā, informācijas pārvades drošībā un citās jomās. Pēc būtības šajā matemātikas nozarē tiek aplūkotas tikai saskaitīšanas un reizināšanas darbības starp veseliem skaitļiem.

Dalāmība

Svarīga veselo skaitļu īpašība, ko apskata skaitļu teorija, ir to dalāmība vienam ar otru. Saka, ka skaitlis $a$ ir $b$ dalītājs, jeb $b$ dalās ar $a$, un apzīmē $a|b$, jeb $b:a$, ja eksistē tāds skaitlis $c$, ka $ac=b$. Ja vieninieks un pats skaitlis ir vienīgie kāda skaitļa dalītāji, kur rezultātā iegūst veselu skaitli, tad tādu skaitli sauc par pirmskaitli. Jebkuru citu veselu skaitli var aplūkot kā pirmskaitļu reizinājumu, piemēram, $12=2\cdot 2\cdot 3$ vai $100=2\cdot 5\cdot 5$. To var izmantot, lai atrast lielākais kopīgais dalītāju. Lai atrastu lielāko kopīgo dalītāju, efektīvi ir izmantot Eiklīda algoritmu. Skaitļu teorijā apskata arī negatīvos veselos skaitļus.

Saskaņā ar skaitļu teoriju, ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu. Pirmskaitļa dalījumā rezultātu iegūst ar atlikumu, ja netiek dalīts ar viens vai ar to pašu pirmskaitli.

Skaitļu teorijas neatrisinātās problēmas

Skaitļu teorijā ir vairākas neatrisinātas problēmas. Dažas no slavenākajām neatrisinātajām problēmām ir šādas:

• vai eksistē bezgalīgi daudz dvīņu pirmskaitļu, tas ir, vai eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu pāris $p$ un $p+2$?
• vai eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu formā $a^{2}+1$?
• vai katru pāra skaitli, kas ir lielāks kā 2 var izteikt kā divu pirmskaitļu summu? (Goldbaha problēma)
• vai funkcijai $f$, kas ir definēta ar sistēmu $f(x)={\begin{cases}{\frac {x}{2}}\\3x+1\end{cases}}$, kur pirmajā vienādojumā $x$ ir pāra skaitlis, bet otrajā $x$ ir nepāra skaitlis, cikls $4\to 2\to 1\to 4\to 2\to 1\to \dots$ ir vienīgais? (Kollaca problēma)
• Rīmaņa hipotēze.

Skaitļu teorijas matemātiķi

Skaitļu teorijā lielu ieguldījumu ir devuši dažādu valstu matemātiķi: Kārlis Frīdrihs Gauss, Pafnutijs Čebiševs, Šrīnivāsa Rāmānudžans, Pāls Erdēšs un citi. Ievērojams Latvijas skaitļu teorētiķis bija Ernests Fogels. Viņa zinātniskajā darbībā ietilpa arī Rīmaņa hipotēzes pierādīšanas mēģinājumi.

Ārēji avoti un saites

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Skaitļu teorija.
• Jānis Buls. Ievads skaitļu teorijā. lekciju konspekts (Latvijas Universitāte), 2007. Arhivēts no oriģināla, laiks: 2019. gada 14. oktobrī. Skatīts: 2019. gada 14. oktobrī.
• A. Bērziņa, A. Bērziņš. Diferencēti uzdevumi skaitļu teorijā. uzdevumu krājums, 1996. Arhivēts no oriģināla, laiks: 2019. gada 14. oktobrī. Skatīts: 2019. gada 14. oktobrī.
• Š. Mihelovičs. Skaitļu teorija. DPU "Saule", 1996.