Elektriskā ķēde

Vienkārša elektriskā ķēde ar strāvas avotu un rezistoru

Elektriskā ķēde ir elektrisko komponentu slēgums, to veido vadi, rezistori, strāvas avots, slēdzis, kondensatori un citi elektriskie elementi. Kopumu, kas paredzēts elektroenerģijas pārvadīšanai un sadalīšanai, sauc par elektrotīklu.

Klasifikācija

Atkarībā no strāvas avota izšķir līdzstrāvas, maiņstrāvas, trīsfāžu maiņstrāvas elektriskās ķēdes. Trīsfāžu maiņstrāva sastopama elektroenerģijas pārvades līnijās, kurās plūstošo strāvu ražo trīsfāžu maiņstrāvas ģeneratoros, tās spriegumu līnijās paaugstinot vai pazeminot trīsfāžu transformatoros. Vienfāzes maiņstrāva, kas parasti ir iegūta, sadalot trīsfāžu maiņstrāvu, plūst, piemēram, dzīvokļos. Līdzstrāva tiek izmantota elektroniskajās shēmās, īpašos tehnoloģiskajos procesos un visur, kur plašās robežās jāregulē elektrodzinēju rotācijas ātrums, šo strāvu iegūst gan līdzstrāvas ģeneratoros, gan pārveidojot vienfāzes vai trīsfāžu maiņstrāvu, nelielas jaudas ķēžu barošanai lieto elektroķīmiskos līdzstrāvas avotus, kā akumulatoru baterijas.

Vēl elektriskās ķēdes iedala lineārās un nelineārās. Lineārā ķēdē visu elementu parametriem ir nemainīgas skaitliskās vērtības. Ķēde ir nelineāra, ja tajā ir vismaz viens elements, kura kāds parametrs ir atkarīgs no tam pieliktā sprieguma vai caurplūstošās strāvas (nelineārs elements).

Shēmas

Pamatraksts: Elektriskā shēma

Elektriskā shēma ir elektriskās ķēdes grafisks attēlojums, kurā ķēdes sastāvdaļas tiek aizvietotas ar pieņemtiem apzīmējumiem. Pastāv dažādu tipu elektriskās shēmas. Struktūrshēmās attēlo funkcionālās saites starp sarežģītas ķēdes blokiem. Montāžas shēmas ir elektroiekārtu daļu rasējumi. Principshēmās attēlo ķēdes elementus un to savienojumus. (Mēdz izšķirt arī citus elektrisko shēmu tipus.) Ķēžu analīzei un aprēķiniem izmanto aizvietošanas shēmas, kurās ir neliels idealizētu elementu tipu skaits. Elektrodzinējspēks ℰ (vai $\varepsilon$, vai $E$), rezistīvais elements $R$, induktīvais elements $L$, kapacitīvais elements $C$ — idealizētie elementu tipi, ar kuriem pietiek, lai analizētu un aprēķinātu stacionāros režīmus un pārejas procesus līdzstrāvas, vienfāzes un trīsfāžu maiņstrāvas ķēdēs.

Topoloģija

• Punkts ir ir vieta elektriskajā shēmā, kuras potenciāls var atšķirties no citu punktu potenciāliem. Punkts ir mezgla punktā savienoti vismaz trīs vadi vai vads, kas savieno divus elementus, vai vienam elementam pievienots vads. Punktu skaits nosaka spriegumu skaitu shēmā. Spriegums ir divu shēmas punktu potenciālu starpība, tāpēc, piemēram, shēmai ar diviem punktiem ir viens spriegums, shēmai, kurā ir trīs punkti, ir trīs spriegumi, starp četriem shēmas punktiem ir seši spriegumi un tā tālāk.
• Mezgls ir trīs vai vairāku vadu savienojuma vieta. Savienotus mezglus var uzskatīt par vienu mezglu. Mezglam var sastādīt strāvu vienādojumu pēc Kirhofa pirmā likuma.
• Zars ir shēmas daļa, kas pievienota diviem mezgliem. Viena zara visos elementos un vados plūst viena un tā pati strāva.
• Kontūrs ir noslēgts ceļš shēmā, kas iet pa shēmas elementiem un savienotājvadiem. Kontūram var sastādīt spriegumu vienādojumu pēc Kirhofa otrā likuma.
• Divpols ir shēmas daļa, kuras divus punktus (izvadus jeb polus) ar pārējo shēmu savieno divi vadi. Aktīvā divpolā ir vismaz viens elektrodzinējspēka avots, pasīvā divpolā nav neviena EDS avota. Divpola jēdzienu izmanto, lai aizstātu veselu shēmas daļu ar vienkāršāku.

Slodze

Slodze elektrotehnikā ir kopējā tīklam pieslēgto elektroenerģijas patērētāju patērējamā jauda. Slodzes līmeni vērtē nevis pēc slodzes pretestības, bet pēc slodzes strāvas vērtības. Piemēram, tukšgaitā, kad pretestība ir bezgalīgi liela un strāva slodzē vienāda ar nulli, divpols nav slogots. Samazinot slodzes pretestību, slodzes strāvas vērtība palielinās — palielinās arī slodzes vērtība.

Lietderības koeficients $\eta$ ir slodzes pretestības patērētās jaudas $P_{pat}$ (jaudas lietderīgā daļa) attiecība pret kopējo jaudu $P$:

$\eta ={\frac {P_{pat}}{P}}$.

Līdzstrāvas ķēdes

Līdzstrāvas ķēdes ir ķēdes, kuru strāvu avotu elektrodzinējspēki $E$ ir nemainīgi, līdz ar to stacionārā režīmā nemainīgi ir pārējie ķēdes parametri: spriegums $U$, strāva $I$, jauda $P$. Šie lielumi var nebūt konstanti režīmā, kas nav stacionārs, tas ir, pārejas procesā, kad tiek izmainīts kāds parametrs; pārejas procesi ir īslaicīgi. Minētie lielumi līdzstrāvas ķēdēs tiek apzīmēti tieši ar lielajiem burtiem.

EDS vienādojums (kad EDS un sprieguma pieņemtie pozitīvie virzieni sakrīt):

$U=-E$.

Rezistīva elementa $R$ vienādojums:

$U=IR$.

Tā kā līdzstrāvas ķēdē strāva nemainās, sprieguma uz induktīva elementa $L$ nav, tāpēc shēmā induktīvo elementu aizstāj ar savienotājvadu:

$U=0$.

Tā kā spriegums nemainās, līdzstrāva caur kapacitīvo elementu $C$ neplūst, tāpēc shēmā kapacitīvo elementu aizstāj ar pārrāvumu:

$I=0$.

Spriegumu vienādojums:

$U_{13}=U_{12}+U_{23}$,

kur $1,2,3$ ir dažādi shēmas punkti.

Kirhofa pirmais likums (strāvu algebriskā summa shēmas mezglā vienāda ar nulli):

$\Sigma I=0$.

Kirhofa otrais likums (noslēgtā kontūrā EDS algebriskā summa vienāda ar spriegumu kritumu uz rezistīvajiem elementiem summu):

$\Sigma E=\Sigma U=\Sigma IR$,

EDS un strāva pozitīvi, ja to pieņemtie virzieni sakrīt ar kontūra apejas virzienu. Ja to virzieni nesakrīt ar kontūra apejas virzienu, tie ir negatīvi. Plusa un mīnusa zīmi nepieciešams noteikt aprēķina gaitā.

Divpola jaudas formula ir

$P=UI$.

Pēc shēmas lielumu aprēķināšanas var noteikt $I$ patieso virzienu un $E$ faktisko režīmu. Ja aprēķinātā strāvas vērtība ir pozitīva, aprēķina sākumā pieņemtais strāvas virziens sakrīt ar tās patieso virzienu. Ja šī vērtība ir negatīva — patiesais strāvas virziens ir pretējs pieņemtajam. Tāpat,salīdzinot pieņemto virzienu un aprēķinātās vērtības zīmi, nosaka EDS patieso virzienu. Pēc tam salīdzina strāvas un EDS patiesos virzienus: ja tie ir vienādi vērsti, dotais $E$ ir avots, ja pretēji — dotais $E$ ir patērētājs.

Virknes slēguma ekvivalentā pretestība:

$R=R_{1}+R_{2}+...$.

Paralēlā slēguma ekvivalentā pretestība:

${\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+...$.

Līdzstrāvas ķēžu gadījumi

Galējie režīmi

Tukšgaitas režīmā pretestība ir bezgalīgi liela, tas ir, ķēdē ir pārrāvums, un strāva neplūst. Īsslēguma režīmā pretestības nav un ķēdē plūst maksimālā iespējamā strāva (īsslēguma strāva $I_{is}$).

Sprieguma dalītājs

Sprieguma dalītājs ir virknē slēgti rezistīvi elementi. Tajā spriegums sadalās proporcionāli elementu pretestībām:

${\frac {U_{1}}{U_{2}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$.

Saskaņotais režīms

Ja līdzstrāvas ķēdē ir patērētājs ar maināmu pretestību, pārējo ķēdi, izmantojot ekvivalentā ģeneratora metodi, var aizstāt ar aktīvu dipolu, kuru veido virknē slēgts EDS ar rezistīvu elementu, tādējādi iegūst divus virknē slēgtus rezistīvos elementus — sprieguma dalītāju. Sprieguma dalītājā ar diviem rezistīviem elementiem $R_{1}$ (caur to strāva plūst vispirms, tā ir avota pretestība) un $R_{2}$ (caur to strāva plūst pēc pirmā rezistīvā elementa, tā ir slodzes pretestība), palielinot strāvu, spriegums uz $R_{1}$ palielinās, bet uz $R_{2}$ samazinās. Saskaņotais režīms ir, kad

$R_{1}=R_{2}$, $I={\frac {I_{is}}{2}}$.

Saskaņotajā režīmā slodzes pretestības jaudai ir vislielākā vērtība, bet lietderības koeficienta vērtība ir 50%.

Lielas jaudas ķēdēs (enerģētikā) nepieciešams liels lietderības koefiecients, tāpēc darba rēžīmu nostāda starp tukšgaitu un saskaņoto režīmu — avota pretestība ir daudzkārt mazāka par patērētāja pretestību. Mazas jaudas ķēdēs (automātikā, radiotehnikā) svarīgāk ir nodot maksimāli iespējamo jaudu, tāpēc darba režīmu iestata tuvu saskaņotajam.

Tilta shēma

Līdzstrāvas tilts ir shēma, kas sastāv no diviem sprieguma dalītājiem, kuru viduspunktus savieno zars ar rezistoru $R_{0}$. Ja ir patiesa vienādība, kuru sauc par tilta līdzsvara nosacījumu,

${\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {R_{3}}{R_{4}}}$,

kur $R_{1}$ ir pirmā sprieguma dalītāja rezistīvā elementa, kurš atrodas pirms viduspunkta ($R_{0}$ pieslēguma vietas pirmajam sprieguma dalītajam), pretestība, $R_{2}$ ir tā paša sprieguma dalītāja rezistīvā elementa, kurš atrodas pēc viduspunkta, savukārt, $R_{3}$ un $R_{4}$ ir otrā sprieguma dalītāja pretestības rezistīvajiem elementiem, kuri attiecīgi atrodas pirms un pēc viduspunkta ($R_{0}$ pieslēguma vietas otrajam sprieguma dalītājām),

tad spriegums ir vienādi sadalīts starp abiem dalītājiem un elementā $R_{0}$ strāva neplūst — pastāv tilta līdzsvars.

Pārejas procesi

Pārejas procesi ir tad, kad ķēde pāriet no viena stacionārā režīma citā (uzspiestā režīmā). Tad strāva un spriegums nav ne konstanti lielumi, ne periodiskas laika fukcijas. Šādu procesu novērošanai parastās mērierīces neder, tādēļ tie tiek periodiski atkārtoti un strāvas vai sprieguma laika diagrammas iegūst osciloskopa ekrānā. Pārejas procesus izraisa ķēdes izmainīšana: ķēdes pieslēgšana sprieguma avotam vai atslēgšana no tā, atsevišķu elementu pieslēgšana vai atslēgšana. Darbības ar slēdzi sauc par komutāciju. Ja ķēdē būtu tikai rezistīvi elementi, visas strāvas un spriegumi uzreiz sasniegtu jaunās stacionārās vērtības. Ja ķēdē ir vismaz viens enerģijas uzkrājējs (induktīvs, kurš uzkrāj magnētiskā lauka enerģiju, vai kapacitīvs, kurš uzkrāj elektriskā lauka enerģiju), pāreja norisinās pakāpeniski. Ir divi komutācijas likumi:

• strāva induktīvā elementā komutācijas brīdī nemainās lēcienveidīgi, tātad induktīvā elementa strāvas izmaiņa pārejas procesā sākas ar strāvas vērtību pirms komutācijas:

$i_{L}(0)=I_{L}(0)$;

• spriegums uz kapacitīva elementa komutācijas brīdī nemainās lēcienveidīgi, tas ir, kapacitīva elementa sprieguma izmaiņa pārejas procesā sākas ar sprieguma vērtību pirms komutācijas:

$u_{C}(0)=U_{C}(-0)$.

Rezistīvo elementu strāvas un spriegumi, spriegumi uz induktīvajiem elementiem, kapacitīvo elementu strāvas — šie lielumi nav saistīti ar uzkrāto enerģiju, tāpēc tie izmainās lēcienveidīgi. Tā pirmajā brīdī pēc komutācijas ķēdē var rasties pārspriegumi — spriegumi, kas pārsniedz avota spriegumu.

Maiņstrāvas ķēdes

Sinusoidālas maiņstrāvas ķēdes

Maiņstrāvas ķēdes, kuru strāvas avotu EDS laikā mainās pēc sinusa likuma, sauc par sinusoidālām maiņstrāvas ķēdēm. Pamatā pastāv divas šādu ķēžu analīzes metodes: vektoru diagrammu metode un simboliskā metode.

Vektoru diagrammu metode

Vektoru diagrammu metode ir piemērota aprēķiniem maiņstrāvas ķēdei ar vienu avotu, kuras shēmā visi elementi slēgti virknē vai kuras shēmā avotam pieslēgti paralēli zari (katrā zarā var būt vairāki virknē slēgti elementi). Šī metode der arī sarežģītākām shēmām, ja zināmi atsevišķu shēmas daļu spriegumi. Aprēķina formulas virknes slēgumam iegūst no pretestību trijstūra, bet shēmai ar paralēliem zariem tās iegūst no vektoru diagrammas. Vektoru diagrammu metode nav piemērojama shēmām ar jauktu slēgumu.

Sinusoidālas funkcijas arguments ir fāze. Maiņstrāvas ķēdē spriegumi un strāvas ir sinusoidālas laika $t$ funkcijas. Fāzes izmaiņa par 2π (360°) notiek perioda $T$ laikā, frekvence $f$ ir periodu skaits sekundē (1/T), leņķiskā frekvence $\omega$ ir fāzes izmaiņas ātrums (2π/T).

Fāžu nobīde $\varphi$ ir divu sinusoidālu lielumu fāžu starpība. Ja kāda divpola spriegums un strāvas stiprums laikā mainās sinusoidāli ar vienādu frekvenci, bet ar dažādām sākumfāzēm

$u=U_{0}sin(\omega t+\alpha _{U})$ un $i=I_{max}sin(\omega t+\alpha _{I})$,

kur $u$ ir sprieguma momentānā vērtība, $i$ ir strāvas stipruma momentānā vērtība, $\alpha$ ir sākumfāze (fāzes vērtība sākummomentā $t=0$),

tad fāžu nobīde parāda, par cik grādiem vai radiāniem spriegums apsteidz strāvu vai par cik spriegums atpaliek (svarīgi ir, ka no sprieguma fāzes tiek atņemta strāvas fāze, nevis otrādi ):

$\varphi =(\omega t+\alpha _{U})-(\omega t+\alpha _{I})=\alpha _{U}-\alpha _{I}$.

Maiņstrāvas ķēdē spriegums, strāvas stiprums, EDS ir laikā mainīgi. Attiecīgi ar $u$, $i$, $e$ apzīmē šo lielumu momentānās vērtības. Šiem lielumiem piemīt maksimālās jeb amplitūdas vērtības: attiecīgi $U_{max}$, $I_{max}$, $E_{max}$. Par kāda no šī lieluma efektīvo vērtību sauc konkrētā lieluma vidējo kvadrātisko vērtību perioda laikā. Attiecīgi

$I={\frac {I_{max}}{\sqrt {2}}}$, $U={\frac {U_{max}}{\sqrt {2}}}$, $E={\frac {E_{max}}{\sqrt {2}}}$.

Efektīvās vērtības uzrāda mēraparāti, tās tiek izmantotas aprēķinos.

Vektoru diagrammas metodes būtība ir vienādojumu iegūšana no vektoru diagrammas. Ja jāsaskaita sinusoīdas, tad sinusoidālus lielumus, kuriem ir noteiktas sākumfāzes, attēlo ar vektoriem, kuru moduļi jeb garumi atbilst sinusoīdu efektīvajām vērtībām un kuru virzieni jeb leņķi, jeb argumenti atbilst sākumfāzēm. Diagrammā veic vektoru saskaitīšanu, tiek izmērīti iegūtā vēktora abi parametri (modulis un virziens). Maiņstrāvās ķēdēs ir spēkā līdzstrāvas ķēdes spriegumu un strāvu vienādojumi ($u_{13}=u_{12}+u_{23}$ un $\Sigma i=0$), taču maiņstrāvas ķēdēs vienkāršāk spriegumu un strāvu vienādojumus ir izteikt ar spriegumu un strāvu vektoriem:

${\vec {U}}_{13}={\vec {U}}_{12}+{\vec {U}}_{23}$ un $\Sigma {\vec {I}}=0$ (vektori var tikt apzīmēti arī ar svītru vai punktu, nevis bultu, piemēram, ${\bar {U}}$, ${\dot {I}}$). $\Sigma {\vec {I}}=0$ ir Kirhofa pirmais likums maiņstrāvai.

Saskaitīt drīkst momentānās vērtības vai vektorus, taču nedrīkst saskaitīt efektīvās vērtības. Vektoru diagramma paredzēta formulu izveidošanai, nevis precīzai spriegumu un strāvu vektoru saskaitīšanai. Pirms aprēķiniem, izmantojot $R$, $L$, $C$ elementu vektoru diagrammas un strāvu un spriegumu vienādojumus, uzzīmē konkrētās shēmas vektoru diagrammu. Pēc tam, izmantojot šo diagrammu un trigonometriskās sakarības, izveido aprēķiniem nepieciešamās izteiksmes ar spriegumu un strāvu efektīvajām vērtībām.

Elementa $E$ vienādojums:

${\vec {U}}=-{\vec {E}}$.

Rezistīva elementa $R$ vienādojums:

$i={\sqrt {2}}Isin\omega t$, $u=Ri={\sqrt {2}}RIsin\omega t$, $U=RI$, $\varphi =0^{\circ }$.

Induktīva elementa $L$ vienādojums:

$i={\sqrt {2}}Isin\omega t$, $u=L{\operatorname {d} \!i \over \operatorname {d} \!t}={\sqrt {2}}\omega LIsin(\omega t+90^{\circ })$, $U=X_{L}I$, $\varphi =90^{\circ }$.

Induktīvās pretestības $X_{L}$ vienādojums:

$X_{L}=\omega L$.

Kapacitīva elementa $C$ vienādojums:

$u={\sqrt {2}}Usin\omega t$, $u=C{\operatorname {d} \!u \over \operatorname {d} \!t}={\sqrt {2}}\omega CUsin(\omega t+90^{\circ })$, $U=X_{C}I$, $\varphi =-90^{\circ }$.

Kapacitīvās pretestības $X_{C}$ vienādojums:

$X_{C}={\frac {1}{\omega C}}$.

Induktīva elementa spriegums apsteidz fāzē strāvu par 90°( $\varphi =90^{\circ }$). Kapacitīva elementa spriegums atpaliek fāzē no strāvas par 90° ($\varphi =-90^{\circ }$). Rezistīva elementa sprieguma un strāvas sinusoīdas sakrīt fāzē ($\varphi =0^{\circ }$).

$X_{L}$ un $X_{C}$ kopējais nosaukums ir reaktīvā pretestība $X=X_{L}-X_{C}$, tā ir atkarīga no frekvences ($f$ vai $\omega$): palielinoties frekvencei, $X_{L}$ palielinās, bet $X_{C}$ samazinās. $R$ maiņstrāvas ķēdē sauc par aktīvo pretestību, tā nav atkarīga no frekvences.

Momentānās jaudas $p=ui$ vidējo vērtību sauc par aktīvo jaudu $P$, kuras mērvienība ir vats (W). Ja $i=I_{max}sin\omega t$ un $u=U_{max}sin(\omega t+\varphi )$, tad

$P=UIcos\varphi =RI^{2}$,

kur $cos\varphi$ ir jaudas koeficients. No vispārīga gadījuma laika diagrammas divpolam, kura strāva $i$ atpaliek no sprieguma $u$ par leņķi $\varphi$, iegūst: kad $i$ un $u$ ir vienlaikus pozitīvi vai vienlaikus negatīvi, momentānā jauda $p$ ir pozitīva un divpols ir patērētājs. Ja $i$ un $u$ ir dažādas zīmes, $p$ ir negatīva un daļa no divpola uzkrātās enerģijas atgriežas pārējā ķēdē. Aktīvās jaudas patērētāji var būt tikai rezistīvie elementi un atsevišķi EDS. Induktīvie un kapacitīvie elementi tikai piedalās enerģijas svārstībās, periodiski pieaugot un samazinoties $L$ magnētiskā lauka vai $C$ elektriskā lauka enerģijai. Enerģijas svārstības raksturo reaktīvā jauda $Q$, kuras mēvienība ir reaktīvais voltampērs (VAr):

$Q=UIsin\varphi =XI^{2}$.

Pilnā jeb šķietamā jauda $S$, kuras mērvienība ir voltampērs (VA):

$S=UI=ZI^{2}$,

kur $Z$ ir pilnā pretestība (par kuru lasīt zemāk). Divpola vai atsevišķa elementa jaudu formulas iegūst no jaudu trīsstūra.

Uzzīmējot pretestību trijstūri virknes slēgumam (virknes slēgumu var uzskatīt par divpolu un tā elementos plūst kopēja strāva), iegūst formulas pilnajai pretestībai $Z$, fāžu nobīdes leņķim $\varphi$, jaudas koeficientam $cos\varphi$:

$Z={\sqrt {R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}}$, $\varphi =\arcsin \left({\frac {X_{L}-X_{C}}{Z}}\right)$, $cos\varphi ={\frac {R}{Z}}$.

Ja $X_{L}>X_{C}$ un $\varphi >0$, visam slēgumam ir induktīvs raksturs. Ja $X_{L}<X_{C}$ un $\varphi <0$, visam slēgumam ir kapacitīvs raksturs.

Izmantojot vektoru diagrammu shēmai ar paralēliem zariem, katru strāvas vektoru sadala savstarpēji perpendikulārās komponentēs: strāvas vektora aktīvā komponente ir strāvas vektora projekcija uz sprieguma vektora ass ($I_{a}=Icos\varphi$), strāvas vektora reaktīvā komponente ir perpendikulāra sprieguma vektora virzienam ($I_{r}=Isin\varphi$). Strāvu komponentes ir tikai aprēķina lielumi un tās nepārstāv reālas strāvas shēmā.

Vēl ir topogrāfiskās diagrammas, tajās nav strāvas vektoru un tajās ir punkti. Katrs šāds punkts atbilst kāda shēmas punkta potenciālam. Spriegumam shēmā atbilst vektors, kas savieno divus diagrammas punktus. Topogrāfiskajās diagrammās vektora bultiņa vērsta pretēji tam, kā spriegumu apzīmē shēmā, piemēram, spriegumu $U_{ab}$ shēmā apzīmē ar bultiņu, kas vērsta no $a$ uz $b$, bet topogrāfiskajā diagrammā — ar bultiņu, kas vērsta no $b$ uz $a$.

Simboliskā metode

Simbolisko metodi var lietot aprēķinos jebkurai maiņstrāvas ķēdei. Šajā metodē ķēdes lielumus attēlo ar kompleksiem skaitļiem un aprēķinus var veikt tāpat kā līdzstrāvas ķēdei. Elektrotehnikā imagināro vienību apzīmē nevis ar $i$ (kā matemātikā), bet gan ar $j$. Attēlojot sinusoidālu spriegumu, strāvu vai elektrodzinējspēku komplekso skaitļu plaknē, vektoru zīmē no plaknes koordinātu sākumpunkta, vektora moduli nosaka efektīvās vērtības, argumentu nosaka sākumfāze. Kompleksos lielumus apzīmē attiecīgi kā ${\underline {U}}$, ${\underline {I}}$, ${\underline {E}}$. Kompleksā pretestība ir kompleksajā plaknē novietots pretestību trijstūris:

${\underline {Z}}=R+j(X_{L}-X_{C})=Z(cos\varphi +jsin\varphi )=Ze^{j\varphi }$.

Šī ${\underline {Z}}$ formula ir derīga tikai atsevišķi ņemtam shēmas zaram (atsevišķam elementam vai elementu virknei).

Virknes slēgumam

${\underline {Z}}={\underline {Z_{1}}}+{\underline {Z_{2}}}+...$,

paralēlslēgumam

${\underline {\frac {1}{Z}}}={\underline {\frac {1}{Z_{1}}}}+{\underline {\frac {1}{Z_{2}}}}+...$.

Elementa $E$ vienādojums:

${\underline {U}}=-{\underline {E}}$.

Visus pretestību veidus ($R$, $X_{L}$, $X_{C}$) un elementu virknes slēguma pilno pretestību $Z$ aizstāj kompleksā pretestība:

${\underline {U}}={\underline {ZI}}$.

Spriegumu vienādojums:

${\underline {U}}_{13}={\underline {U}}_{12}+{\underline {U}}_{23}$.

Kirhofa pirmais likums:

$\Sigma {\underline {I}}=0$.

Kirhofa otrais likums:

$\Sigma {\underline {E}}=\Sigma {\underline {ZI}}$.

Kompleksā jauda ${\underline {S}}$ ir komplekss lielums, kura reālā daļa ir aktīvā jauda $P$, imaginārā daļa — reaktīvā jauda $Q$:

${\underline {S}}={\underline {UI^{*}}}=P\pm jQ$,

kur ${\underline {I^{*}}}$ ir kompleksās strāvas ${\underline {I}}$ kompleksi saistītais lielums. Ja divpolam piemīt induktīvs raksturs, kompleksās jaudas imaginārā daļa ir pozitīva. Ja divpolam piemīt kapacitīvs raksturs, kompleksās daļas imaginārā daļa ir negatīva.

Komplekso elektrovadītspēju pieņemts apzīmēt ar ${\underline {Y}}$.

${\underline {Y}}={\frac {1}{\underline {Z}}}$.

Maiņstrāvas ķēžu gadījumi

Aktīvās jaudas mērīšana

Aktīvo jaudu mēra ar vatmetru, kuram atšķirībā no ampērmetra un voltmetra ir četras pieslēgspailes: divi izvadi strāvas ķēdei un divi sprieguma ķēdei. Šīs abas ķēdes sauc arī par strāvas spoli un sprieguma spoli, jo vatmetrs darbojas pēc divās tā spolēs — nekustīgā strāvas un kustīgā spreiguma spolē — plūstošo strāvu radīto magnētisko lauku mijiedarbības. Vatmetram ir divi mērapjomi (strāvai un spriegumam), un, aprēķinot vatmetra iedaļas vērtību, šos mērapjomus sareizina un izdala ar vatmetra skalas iedaļu skaitu. Veicot aktīvās jaudas mērījumus, jāievēro pareiza vatmetra polaritāte. Viens no vatmetra sprieguma izvadiem un viens no strāvas izvadiem ir atzīmēts, atzīmētu izvadu sauc par sākumu, un pieņemtos pozitīvos sprieguma un strāvas virzienus vatmetra ķēdēs skaita no atzīmētās spailes. Lai izmērītu divpola patērēto aktīvo jaudu (tātad divpols ir patērētājs un tā sprieguma un strāvas pieņemtie pozitīvie virzieni sakrīt), vatmetra spoļu polaritāte jāizvēlas tā, lai pieņemtie pozitīvie virzieni vatmetra ķēdēs sakristu ar pieņemtajiem pozitīvajiem virzieniem divpolā. Lai izmērītu divpola ģenerēto jaudu (tātad divpols ir ģenerators jeb avots un tā sprieguma un strāvas pieņemtie pozitīvie virzieni nesakrīt), vienai no vatmetra ķēdēm (bet ne abām) izmaina polaritāti.

Induktivitātes spoles parametru noteikšana

Idealizētajam induktīvajam elementam piemīt tikai reaktīvā pretestība, bet reālai induktivitātes spolei piemīt arī aktīvā pretestība, tāpēc strāvai plūstot reālā spolē, rodas jaudas zudumi. Shēmās induktivitātes spoli apzīmē ar idealizētu elementu $R$ un $L$ virknes slēgumu. Spoles parametrus nosaka, ķēdē ieslēdzot ampērmetru, voltmetru un vatmetru, ar kuriem attiecīgi izmēra strāvu, spriegumu un aktīvo jaudu, pēc tam iespējams atrast, piemēram, pilno pretestību un un fāžu nobīdes leņķi

$Z={\frac {U}{I}}$, $cos\varphi ={\frac {P}{UI}}$,

pēc tam pārējos parametrus (iespējamas arī citas formulas):

$R=Zcos\varphi$, $X_{L}=Zsin\varphi$.

Spoles induktivitāti $L$ aprēķina šādi:

$L={\frac {X_{L}}{\omega }}$.

Spriegumu rezonanse

Mainstrāvas ķēdē, kurā ir virknē slēgti abi reaktīvie elementi ($L$ un $C$), iespējami režīmi, kad spriegums kādā ķēdes daļā pārsniedz avota spriegumu. Kapacitāte $C$ ietekmē dotās maiņstrāvas ķēdes lielumus šādi:

• $C=0$, $X_{C}=\infty$, $Z=\infty$, $I=0$
• $C$ tiek palielināta, $X_{C}$ samazinās, pagaidām $X_{C}>X_{L}$, $\varphi <0^{\circ }$
• $C$ vēl tiek palielināta, $X_{C}$ vēl samazinās, ar laiku iestājas īpašs režīms, kad $X_{C}=X_{L}$, tas ir spriegumu rezonanses režīms, $Z_{rez}=Z_{min}=R$, $\varphi =0^{\circ }$, $cos\varphi =1$, $U_{C}=X_{C}I=U_{L}=X_{L}I$, $I_{rez}=I_{max}$
• $C$ tiek palielināta pēc spriegumu rezonanses režīma sasniegšanas, $X_{C}<X_{L}$, $\varphi >0^{\circ }$.

Enerģētikā spriegumu rezonanse parasti ir nevēlama parādība (nevēlama tieši tādēļ, ka ķēdes elementu spriegumi var pārsniegt avota spriegumu, turklāt tas notiek ne tikai rezonanses režīmā, bet arī tam tuvos režīmos). No sprieguma izteiksmes rezonanses režīmā

$U_{L}=X_{L}I_{rez}={\frac {X_{L}}{R}}U$

iegūst, ka bīstams ir stāvoklis, kad induktīvā pretestība daudzkārt pārsniedz aktīvo pretestību. Rezonanses režīmu izmanto radiotehnikā, kur atšķirībā enerģētikas satopamas dažādas frekvences un, mainot kapacitāti vai induktivitāti, $RLC$ kontūru noskaņo rezonansē frekvencei

$f_{rez}={\frac {1}{2}}\pi {\sqrt {LC}}$,

iegūstot vismazāko kontūra pretestību.

Kontūra labumu $Q$ aprēķina pēc formulas

$Q={\frac {U_{L}}{U}}={\frac {U_{C}}{U}}$,

savukārt, kontūra zudumus $d$ aprēķina pēc

$d={\frac {1}{Q}}$.

Strāvu rezonanse

Praksē tīri reaktīvu patērētāju nav, bet gan ir aktīvi reaktīvie patērētāji: aktīvi induktīvie un aktīvi kapacitīvie. Rūpniecībā un transportā aktīvi induktīva rakstura patērētāji ir biežāk sastopami nekā aktīvi kapacitīva, jo šajās nozarēs izmantojamās iekārtās ir vairāk spoļu (piemēram, elektrisko mašīnu un transformatoru tinumi) nekā kondensatoru. Strāva, kas nepieciešama jaudas pārvadīšanai tīklā ar noteiktu spriegumu, ir atkarīga no jaudas koeficienta:

$I={\frac {P}{Ucos\varphi }}$.

Aktīvi induktīvu patērētāju $cos\varphi <1$, paaugstinot jaudas koeficienta jaudu patērētājiem varētu pievadīt ar mazāku strāvas patēriņu. Viens no paņēmieniem jaudas koeficienta paaugstināšanai ir kondensatoru baterijas ar regulējamu kapacitāti pieslēgšana paralēli aktīvi induktīvu patērētāju grupai. Šādai ķēdei, kamēr $C=0$, strāva (visa avota strāva) plūst tikai zarā ar aktīvi induktīvo patērētāju. Palielinot kapacitāti, proporcionāli pieaug strāva zarā ar kapacitīvo elementu. Pirmā zara strāva un fāžu nobīde nemainās. Pieaugot otrā zara strāvai, avota strāva un fāžu nobīdes leņķis samazinās, bet jaudas koeficients palielinās. Strāvu rezonanse ir režīms, kurā avota strāva ir vismazākā:

$I_{min}=I_{1a}$, $I_{2}=I_{1r}$, $\varphi =0^{\circ }$, $cos\varphi =1$,

kur $I_{1a}$ ir strāvas aktīvā komponente zarā ar aktīvi induktīvo patērētāju, $I_{2}$ ir strāva zarā ar kapacitīvo elementu, $I_{1r}$ ir strāvas reaktīvā komponente zarā ar aktīvi induktīvo patērētāju.

Turpinot palielināt $C$ pēc strāvu rezonanses režīma, pieaug otrā zara strāva avota strāva, nobīdes leņķa absolūtā vērtība, jaudas koeficients samazinās. Mainot $C$, kopējās (avota) strāvas aktīvā komponente saglabājas nemainīga un vienāda ar pirmā zara strāvas aktīvo komponenti, tāpat nemainās patērētā aktīvā jauda.

Trīsfāžu maiņstrāvas ķēdes

Trīsfāžu ģeneratora spriegumu laika diagramma

Trīsfāžu maiņstrāvas avots ir no statorā ievietotiem trim tinumiem jeb fāzēm sastāvošs trīsfāžu ģenerators. Tādējādi, runājot par trīsfāžu maiņstrāvas ķēdēm, par fāzi sauc katru no avota vai tam pievienoto pārvades līniju un patērētāja trim daļām. Trīsfāžu maiņstrāvas ķēdēs ir spēkā vienfāzes maiņstrāvas ķēžu sakarības. Trīsfāžu ķēdēs atšķirībā no vienfāzes var iegūt rotējošo magnētisko lauku, ietaupīt, ierīkojot pārvades līnijas, izmantot jebkuru no konkrētā ķēdē pieejamajiem spriegumiem. Ja trīsfāžu ģenerators ir simetrisks, tad tā tinumos inducētie elektrodzinējspēki ir ar vienādām amplitūdas vērtībām un tie savstarpēji nobīdīti fāzē par 120°:

$e_{A}=E_{max}sin\omega t$, $e_{B}=E_{max}sin(\omega t+120^{\circ })$, $e_{C}=E_{max}sin(\omega t-120^{\circ })$,

kur ar $A$, $B$, $C$ apzīmētas trīs maiņstrāvas fāzes.

Trīsfāžu ķēdē trīs fāzes ir ne tikai avotam, bet arī patērētājam. Avota un patērētāja fāzes var būt slēgtas zvaigznē vai trijstūrī. Jebkurā no abiem slēguma veidiem patērētājs var būt simetrisks vai nesimetrisks. Tas ir simetrisks, ja tā visu fāžu pretestības ir vienādas skaitliski (vienādas pilnās pretestības) un pēc rakstura (vienādas fāžu nobīdes starp strāvu un spriegumu):

$Z_{A}=Z_{B}=Z_{C}$, $\varphi _{A}=\varphi _{B}=\varphi _{C}$ zvaigznei vai $Z_{AB}=Z_{BC}=Z_{CA}$, $\varphi _{AB}=\varphi _{BC}=\varphi _{CA}$ trīsstūrim.

Ja minētie nosacījumi neizpildās, patērētājs tiek saukts par nesimetrisku.

Zvaigznes slēgums

Zvaigzne ir slēgums, kurā trīsfāžu ģeneratora visi tinumi ir savienoti vienā punktā (neitrālpunkts jeb neitrāle). Tāpat vienā punktā ir savienotas patērētāja fāzes. Ģeneratora un patērētāja fāžu savienošanai pietiek ar trim vadiem, bet var būt vēl ceturatais vads, kas savieno ģeneratora un patērētāja neitrālpunktus.

Zvaigznes slēgums. G — ģenerators, M — patērētājs. A, B, C — ģeneratora fāzes, a, b, c — patērētāja fāzes. E ar attiecīgajiem indeksiem — ģeneratora attiecīgo fāžu elektrodzinējspēks. Z ar attiecīgajiem indeksiem — patērētāja attiecīgo fāžu pilnā pretestība. I ar attiecīgajiem indeksiem — fāzes strāva attiecīgajās fāzēs. U ar vienu burtu indeksā — attiecīgās fāzes spriegums (var tikt apzīmēts arī ar diviem burtiem, kas apzīmē ģeneratora fāzi un neitrālpunktu, piemēram, U_A var tikt apzīmēts kā U_An), U ar diviem lielajiem burtiem indeksā — attiecīgais līnijas spriegums, U_nN — neitrālvada spriegums. Dotajā shēmā virs EDS, sprieguma un strāvas apzīmējumiem atrodas punkts, kas norāda, ka tiek apzīmēts konkrētā lieluma vektors.

Spriegumu starp fāzes vadu un neitrālpunktu sauc par fāzes spriegumu $U_{f}$. Spriegumu starp diviem fāzes vadiem sauc par līnijspriegumu $U_{l}$. Zvaigznes slēgumam ar neitrālvadu ģeneratoram un patērētājam ir spēkā šīs sakarības:

$I_{l}=I_{f}$ un $U_{l}={\sqrt {3}}U_{f}$,

kur $I_{l}$ ir līnijstrāva, $I_{f}$ ir fāzes strāva. Ja trīsfāžu ķēdes sprieguma vai strāvas apzīmējums ir bez _f vai _l, tad pieņem, ka domāts līnijas spriegums vai strāva.

Zvaigznei ar neitrālvadu visi fāžu spriegumi ir vienādi. Zvaigznes slēgumam bez neitrālvada fāžu spriegumi ir vienādi tikai tad, ja patērētājs ir simetrisks. Uzzīmējot nesimetriskam patērētājam bez neitrālvada topogrāfisko diagrammu, ģeneratora neitrālpunkts N nesakrīt ar patērētāja neitrālpunktu n — starp abiem punktiem pastāv neitrāles nobīdes spriegums U_nN, jo lielāks tas ir, jo lielāka ir patērētāja fāžu asimetrija. Jebkuram zvaigznes slēgumam līnijstrāva ir vienāda ar fāzes strāvu.

Kad ir zināmi patērētāja fāžu spriegumi, katru patērētāja fāzi var uzskatīt par atsevišķu vienfāzes maiņstrāvas ķēdi. Strāvu aprēķiniem izmanto formulas

$Z_{f}={\sqrt {R_{f}^{2}+(X_{Lf}-X_{Cf})^{2}}}$, $I_{f}={\frac {U_{f}}{Z_{f}}}$, ${\vec {I_{A}}}+{\vec {I_{B}}}+{\vec {I_{C}}}={\vec {I_{N}}}$,

kur $Z_{f}$ ir patērētāja fāzes pilnā pretestība, $R_{f}$ — tās aktīvā pretestība, $X_{Lf}$ — tās induktīvā pretestība, $X_{Cf}$ — tās kapacitīvā pretestība, $I_{f}$ ir fāzes strāva, $U_{f}$ ir fāzes spriegums, ${\vec {I_{A}}}$, ${\vec {I_{B}}}$, ${\vec {I_{C}}}$ ir attiecīgi fāžu A, B, C strāvu vektori, ${\vec {I_{N}}}$ ir neitrālvada strāvas vektors. Ja patērētājs ir simetrisks, neitrālvadā strāva neplūst.

Aktīvās jaudas aprēķiniem izmanto formulas

$cos\varphi _{f}={\frac {R_{f}}{Z_{f}}}$, $P_{f}=U_{f}I_{f}cos\varphi$, $P=P_{A}+P_{B}+P_{C}$,

kur $cos\varphi _{f}$ ir jaudas koeficients patērētāja fāzei, $R_{f}$ ir patērētāja fāzes aktīvā pretestība, $Z_{f}$ ir tās pilnā pretestība, $U_{f}$ ir fāzes spriegums, $I_{f}$ ir fāzes strāva, $P_{f}$ jeb konkrētai fāzei A, B, C $P_{A}$, $P_{B}$, $P_{C}$ ir fāzes aktīvā jauda, $P$ ir visa patērētāja aktīvā jauda.

Avārijas režīmi

Zvaigznē ar neitrālvadu (četrvadu sistēma) vienas fāzes pārtraukums neizmaina abu pārējo fāžu spriegumus. Neitrālvada pārtaukums neizraisīs nekādas izmaiņas, ja slodze ir simetriska. Avāriju var izraisīt neitrālvada pārrāvums, ja slodze ir nesimetriska. Fāzes īsslēgums četrvadu sistēmā ir bīstams avārijas režīms.

Zvaigznē bez neitrālvada (trīsvadu sistēma) vienas fāzes pārrāvuma gadījumā samazinās pārējo fāžu spriegumi, šīs fāzes faktiski ir virknē pieslēgtas vienfāzes ģeneratoram. Ja kādā fāzē ir īsslēgums, abu pārējo fāžu spriegumi kļūst vienādi ar līnijas spriegumu.

Trijstūra slēgums

Trijstūris ir slēgums, kurā pirmās fāzes gals savienots ar otrās fāzes sākumu, otrās fāzes gals savienots ar trešās fāzes sākumu, trešās fāzes gals savienots ar pirmās fāzes sākumu.

Trijstūra slēgums. G — ģenerators, M — patērētājs. AB, BC, CA — ģeneratora fāzes, ab, bc, ca — patērētāja fāzes. E ar attiecīgajiem indeksiem — ģeneratora attiecīgo līniju elektrodzinējspēks. Z ar attiecīgajiem indeksiem — patērētāja attiecīgo fāžu pilnā pretestība. U ar diviem burtiem indeksā — attiecīgās fāzes spriegums. I ar vienu burtu indeksā — attiecīgā līnijas strāva, I ar diviem burtiem indeksā — attiecīgās fāzes strāva.

Trijstūra slēgumam, kad patērētājs ir simetrisks, ir pareizas šīs sakarības:

$U_{l}=U_{f}$, $I_{l}={\sqrt {3}}I_{f}$.

Fāzes spriegums vienāds ar līnijas spriegumu arī nesimetriskam patērētājam, bet fāžu strāvu aprēķina pēc

$Z_{f}={\sqrt {R_{f}^{2}+(X_{Lf}-X_{Cf})^{2}}}$, $I_{f}={\frac {U_{f}}{Z_{f}}}$.

Līnijas strāvu vektorus atrod šādi:

${\vec {I_{A}}}={\vec {I_{AB}}}-{\vec {I_{CA}}}$, ${\vec {I_{B}}}={\vec {I_{BC}}}-{\vec {I_{AB}}}$, ${\vec {I_{C}}}={\vec {I_{CA}}}-{\vec {I_{BC}}}$.

Aktīvās jaudas aprēķiniem izmanto formulas

$cos\varphi _{f}={\frac {R_{f}}{Z_{f}}}$, $P_{f}=U_{f}I_{f}cos\varphi$, $P=P_{A}+P_{B}+P_{C}$.

Aktīvās jaudas mērīšana

Trīsfāžu patērētāja aktīvo jaudu var mērīt, ieslēdzot pa vatmetram katrā fāzē. Ja patērētājs ir simetrisks, pietiek ar vienu vatmetru. Šādam mērījumam nepieciešama patērētāja neitrāle, to var arī mākslīgi izveidot, savienojot zvaigznē trīs vienādas pretestības, turklāt viena no tām var būt vatmetra sprieguma spoles pretestība. Zvaigznes slēgumam bez neitrālvada un trijstūra slēgumam neatkarīgi no patērētāja simetriskuma aktīvo jaudu var uzzināt ar diviem vatmetriem. Zvaigznē vatmetru strāvas ķēdes slēdz līnijas vados A un C, sprieguma ķēdes pieslēdz spriegumiem U_AB un U_CB. Tad abu vatmetru rādījumu algebriskā summa ir trīsfāžu patērētāja aktīvā jauda. Līdzīgi mērījumus veic trijstūrim. Ja novirzes leņķis $\varphi$ starp fāzes spriegumu un strāvu ir 60°, respektīvi, leņķis starp U_AB un I_A vektoriem $\alpha$ ir taisns, tad pirmais vatmetrs rāda nulli. Kad $\varphi$<60° un $\alpha$ ir šaurs, šī vatmetra rādījums ir pozitīvs. Kad $\varphi$>60°, šī vatmetra rādījums ir negatīvs. Otra vatmetra mērījumu vērtības ir tikai pozitīvas, jo leņķis starp U_CB un I_C vektoriem vienmēr ir šaurs.

Simetriskam trīsfāžu patērētājam neatkarīgi no slēguma veida der aktīvās jaudas formula

$P={\sqrt {3}}U_{l}I_{l}cos\varphi$.

Salīdzinot zvaigzni un trīsstūri, var ievērot nozīmīgu faktu: simetriska patērētāja trīsstūra slēgumā aktīvā jauda (arī līnijas strāva) ir trīs reizes lielāka nekā zvaigznes slēgumā, līnijas spriegumam un fāžu pretestībām abos gadījumos esot vienādiem.

Formulu apkopojums

	Momentānajām vērtībām	Līdzstrāvai	Vektoru diagrammu metode	Simboliskā metode
Elementu vienādojumi	$u=-e$	$U=-E$	${\bar {U}}=-{\bar {E}}$	${\underline {U}}=-{\underline {E}}$
	$u=Ri$	$U=RI$	$U=RI$, $\varphi =0^{\circ }$	${\underline {U}}={\underline {ZI}}$
	$u=L{\operatorname {d} \!i \over \operatorname {d} \!t}$	$U=0$	$U=X_{L}I$, $\varphi =90^{\circ }$
	$i=C{\operatorname {d} \!u \over \operatorname {d} \!t}$	$I=0$	$U=X_{C}I$, $\varphi =-90^{\circ }$
	—	—	$U=ZI$, $\varphi$
Spriegumu un strāvu vienādojumi	$u_{13}=u_{12}+u_{23}$	$U_{13}=U_{12}+U_{23}$	${\bar {U}}_{13}={\bar {U}}_{12}+{\bar {U}}_{23}$	${\underline {U}}_{13}={\underline {U}}_{12}+{\underline {U}}_{23}$
	$\Sigma \pm i=0$	$\Sigma \pm I=0$	$\Sigma \pm {\bar {I}}=0$	$\Sigma \pm {\underline {I}}=0$
	—	$\Sigma \pm E=\Sigma \pm RI$	—	$\Sigma \pm {\underline {E}}=\Sigma \pm {\underline {ZI}}$
Divpola jauda	$p=ui$	$P=UI$	$P=UIcos\varphi$	${\underline {S}}={\underline {UI^{*}}}=P\pm jQ$
			$Q=UIsin\varphi$
			$S=UI$

Ārējās saites

• Vikikrātuvē par šo tēmu ir pieejami multivides faili. Skatīt: Elektriskā ķēde.