Sfēriskā ģeometrija

Sfēriskā ģeometrija ir ģeometrija uz sfēras virsmas. Lai gan sfēras virsma ir divdimensionāla, sfēriskā ģeometrija atšķiras no planimetrijas (Eiklīda ģeometrijas divās dimensijās), jo sfēras virsma ir izliekta nevis plakana. Tā atšķiras arī no stereometrijas (Eiklīda ģeometrijas trijās dimensijās), jo sfēriskajā ģeometrijā tiek pieņemts, ka ārpus sfēras virsmas nekas cits neeksistē. Neskatoties uz to, bieži vien tiek pieņemts, ka sfēra atrodas trīsdimensiju telpā, lai varētu izmantot dažādas trīsdimensionālas palīgkonstrukcijas.

Sfēriskā ģeometrija ir visvienkāršākais neeiklīda ģeometrijas piemērs. Atšķirībā no Eiklīda ģeometrijas, neeiklīda ģeometrijās neizpildās Eiklīda piektais (jeb paralēļu) postulāts.

Jēdzieni sfēriskajā ģeometrijā

Eiklīda ģeometrijā	Sfēriskajā ģeometrijā
taisne	lielais riņķis
nogrieznis	lielā riņķa loks
leņķis starp taisnēm	leņķis starp lielo riņķu plaknēm
trīsstūris	sfēriskais trīsstūris
daudzstūris	sfēriskais daudzstūris

lielais riņķis

Taisnes analogs sfēriskajā ģeometrijā ir lielais riņķis jeb sfēras šķēlums ar plakni, kas iet caur tās centru. Lai gan trīs dimensijās lielais riņķis nebūt neizskatās “taisns”, tā ir “taisnākā” līkne, ko var novietot uz sfēras virsmas. Citiem vārdiem, lielais riņķis ir līkne uz sfēras virsmas ar vislielāko iespējamo liekuma rādiusu (lielāks liekuma rādiuss nozīmē, ka līkne izskatās “taisnāka”). Lielā riņķa rādiuss ir vienāds ar sfēras rādiusu un tā centrs sakrīt ar sfēras centru. Lielo riņķi var viennozīmīgi uzdot ar tam perpendikulāru taisni, kas iet caur sfēras centru.

lielā riņķa loks

Tāpat kā nogrieznis, kas savieno divus plaknē esošus punktus, atbilst īsākajam ceļam starp šiem punktiem, lielā riņķa loks atbilst īsākajam ceļam starp diviem punktiem uz sfēras virsmas, ja atļauts pārvietoties tikai pa sfēras virsmu.

leņķis

Sfēriskajā ģeometrijā lielos riņķus var raksturot ar leņķi starp tiem, tāpat kā plaknē raksturo taisnes, kas krustojas. Lai izmērītu šo leņķi, var iedomāties, ka punktu, kurā lielie riņķi krustojas, pietuvina tik tuvu, ka sfēras virsma “kļūst plakana” un lielie riņķi kļūst par taisnēm. Taču formāli leņķi starp diviem lielajiem riņķiem raksturo ar leņķi starp plaknēm, kurās tie atrodas. Šis leņķis ir vienāds arī ar leņķi starp lielajiem riņķiem perpendikulārām taisnēm, kas iet caur sfēras centru.

sfēriskais trīsstūris

Ja uz sfēras virsmas izvēlas trīs dažādus punktus un katrus divus no tiem savieno ar lielā riņķa loku, tad iegūst sfērisko trīsstūri. Sfēriskajā ģeometrijā trīsstūra leņķu summa nekad nav vienāda ar 180° - tā vienmēr ir lielāka. Piemēram, ja vienības sfēra atrodas taisnleņķa koordinātu sistēmas sākumpunktā un sfēriskā trīsstūra virsotnes ir punktos (1,0,0), (0,1,0) un (0,0,1), tad šī trīsstūra leņķu summa ir 270°, jo visi trīs tā leņķi ir taisni. Ja sfēriskā trīsstūra leņķi ir α, β un γ, tad

$\pi <\alpha +\beta +\gamma <3\pi ,\,$

kur π = 180° un 3π = 540°. Plaknē ir iespējami līdzīgi trīsstūri (trīsstūri, kuriem sakrīt visi leņķi, bet atšķiras laukums), taču sfēriskā trīsstūra leņķi viennozīmīgi nosaka tā laukumu. Ja sfēriskā trīsstūra leņķi ir α, β un γ un tas atrodas uz sfēras ar rādiusu r, tad tā laukums ir

$S=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )r^{2}.\,$

Jo mazāks sfēriskā trīsstūra laukums S, jo tā leņķu summa ir tuvāka 180°. Sfēriskā trīsstūra ārpuse arī ir sfēriskais trīsstūris un tā laukums ir 4πr² − S.

sfēriskais daudzstūris

Sfēriskais daudzstūris ir apgabals uz sfēras virsmas, kuru ierobežo vairāki lielo riņķu loki. Ja sfēriskajam daudzstūrim ir n virsotnes un tā leņķu summa ir θ, tad tā laukums ir

$S={\bigl (}\theta -(n-2)\pi {\bigr )}r^{2}.\,$

antipods

Divus diametrāli pretējus punktus uz sfēras virsmas sauc par antipodiem jeb antipodāliem punktiem (burtu “o” šajos vārdos izrunā kā vārdā opera). Piemēram, Ziemeļpols un Dienvidpols ir antipodāli punkti. Latvijas antipods atrodas Klusajā okeānā starp Jaunzēlandi un Antarktīdu. Ja antipodālus punktus savieno ar diviem atšķirīgiem lielo riņķu lokiem, iegūst sfērisko “divstūri” (angliski digon jeb lune).

Attālums starp diviem punktiem

Lai atrastu īsāko ceļu starp diviem punktiem uz sfēras virsmas, novelk plakni, kas iet caur dotajiem punktiem un sfēras centru. Šīs plaknes šķēlums ar sfēru ir lielais riņķis, kuru dotie punkti sadala divos lokos. Īsākais no šiem lokiem atbilst īsākajam ceļam starp dotajiem punktiem.

Lai aprēķinātu īsākā ceļa garumu, vienkāršības labad apskatīsim vienības sfēru, kas novietota koordinātu sākumpunktā. Tad dotos punktus var raksturot ar vienības vektoriem r₀ un r₁, bet attālumu starp tiem ar leņķi $\alpha \,$ starp šiem vektoriem. Tā kā vektoru r₀ un r₁ skalārais reizinājums ir r₀ · r₁ = cos α, tad attālums starp punktiem ir

$d(\mathbf {r} _{0},\mathbf {r} _{1})=\arccos(\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {r} _{1}).$

Šo formulu var lietot arī vienības hipersfērai (sfērai n dimensijās) jebkuram n ≥ 2. Interesanti, ka punkti uz vienības hipersfēras nevar atrasties tālāk kā $\pi \,$, neatkarīgi no dimensijas n.

Ja r₀ ≠ −r₁, tad īsāko ceļu starp r₀ un r₀ parametriski var izteikt šādi:

$\mathbf {r} (t)={\frac {(1-t)\mathbf {r} _{0}+t\,\mathbf {r} _{1}}{\|(1-t)\mathbf {r} _{0}+t\,\mathbf {r} _{1}\|}},$

kur parametrs t pieņem vērtības intervālā [0,1]. Arī šo formulu var lietot hipersfērai n ≥ 2 dimensijās.

Reālā projektīvā plakne

Projektīvajā ģeometrijā	Sfēriskajā ģeometrijā	Eiklīda ģeometrijā
punkts	antipodālu punktu pāris	taisne caur koordinātu sākumpunktu
taisne	lielais riņķis	plakne caur koordinātu sākumpunktu

Sfēriskā ģeometrija ir cieši saistīta ar projektīvo ģeometriju jeb ģeometriju, kurā tiek pētītas īpašības, kas projicējot paliek invariantas. Viens no vienkāršākajiem objektiem projektīvajā ģeometrijā ir reālā projektīvā plakne. To ir iespējams konstruēt vairākos veidos, no kuriem divi savstarpēji saistīti veidi ir aprakstīti zemāk.

Konstrukcija sfēriskajā ģeometrijā

Sfēriskajā ģeometrijā reālo projektīvo plakni iegūst identificējot katru antipodālu sfēras punktu pāri kā vienu projektīvās plaknes punktu un uzskatot lielos riņķus par taisnēm projektīvajā plaknē. Var viegli pārliecināties, ka šīm punkta un taisnes definīcijām izpildās projektīvās ģeometrijas aksiomas:

• jebkuri divi atšķirīgi lielie riņķi krustojas tieši divos (antipodālos) punktos,
• starp katriem diviem atšķirīgiem antipodālu punktu pāriem var novilkt tieši vienu lielo riņķi.

Konstrukcija Eiklīda ģeometrijā

Trīsdimensiju Eiklīda ģeometrijā taisnes un plaknes, kas iet caur koordinātu sākumpunktu, atbilst attiecīgi projektīvās plaknes punktiem un taisnēm (objektu dimensijas atšķiras par 1). Viegli pārliecināties, ka

• šķēlums jebkurām divām atšķirīgām plaknēm, kas iet caur koordinātu sākumpunktu, ir taisne, kas arī iet caur koordinātu sākumpunktu,
• jebkuras divas taisnes, kas iet caur koordinātu sākumpunktu atrodas vienā plaknē, kas arī iet caur koordinātu sākumpunktu.

Ārējās saites

• Spherical Geometry - Definitions, BBC, h2g2.
• John C. Polking, The Geometry of the Sphere.
• David C. Royster, Spherical Geometry, lekciju materiāli.
• Eric W. Weisstein, Spherical Geometry, MathWorld.
• Henderson, David W.; Taimina, Daina (2004), Experiencing Geometry: Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd izd.), Pearson Prentice Hall, ISBN 0131437488.