Dzimis 1868. gada 13. aprīlī Odesā kara inženiera Nikolaja Kļimenko ģimenē. Studēja Pēterburgas kara medicīnas akadēmijā (līdz 1893. gadam). Strādāja par kara ārstu (1893—1900), 1895. gadā aizstāvēja Dr. med. grādu. Papildinājās Cīrihes Pedagoģiskajā institūtā (1901—1903) un Bernes bakterioloģiskajā institūtā (1904).
Sākoties krievu—japāņu karam, V. Kļimenko 1904. gadā atgriezās Krievijas impērijā, vadīja Čitas Sarkanā Krusta lazareti. Pēc kara beigām bija Pēterburgas eksperimentālās medicīnas institūta asistents (1905—1913), vēlāk nodaļas vadītājs (1913—1918). Līdztekus privātdocents Pēterburgas Kara medicīnas akadēmijā (1908) un Nikolaja bērnu slimnīcas nodaļas vadītājs (1909—1915).
Krievijas pilsoņu kara laikā medicīniskās bakterioloģijas profesors Samaras Universitātē (1919).
1920. gadā V. Kļimenko emigrēja uz Latviju, 1921. gada 15. augustā tika ievēlēts par LU iekšķīgo un lipīgo slimību profesoru un Latvijas Universitātes medicīnas fakultātes Iekšķīgo slimību diagnostikas un propedeitikas katedras vadītāju.[1] Pensionējās 1938. gadā.