Ar svarcelšanu nodarbojas kopš deviņu gadu vecuma.[4] Ar panākumiem startējis jaunatnes sacensībās. 2008. gada Eiropas čempionātā U-17 vecuma grupā A. Plēsnieks guva uzvaru ar summā paceltiem 338 kg. Tā paša gada Eiropas junioru čempionātā viņš izcīnīja otro vietu ar 343 kg. 2009. gadā sportists guva medaļas U-20 vecuma grupā gan Eiropas, gan Pasaules čempionātos, kā arī guva uzvaru 2009. gada Eiropas čempionātā junioriem.
2010. gada Eiropas čempionātā pieaugušajiem A. Plēsnieks izcīnīja 9. vietu.[6] 2010. gadā viņš kļuva par pasaules junioru čempionu (385 kg),[7] nākamajā gadā izcīnīja sudrabu. 2011. gadā uzvarēja Eiropas čempionātā junioriem[8] un ieņēma 15. vietu Pasaules čempionātā pieaugušajiem. 2009. un 2010. gadā bija pretendents uz Latvijas Gada balvu sportā kā gada uzlecošā zvaigzne. 2012. gada aprīlī izcīnīja 5. vietu Eiropas čempionātā ar kopsummā paceltu 381 kg.[9] Tāpat izcīnīja sudrabu 2012. gada Pasaules čempionātā junioriem.[10]
A. Plēsnieks kvalificējās startam 2012. gada vasaras olimpiskajās spēlēs.[11] Tajās viņš ar jaunu personisko rekordu summā izcīnīja 7. vietu.[12] 2013. gadā ar jaunu Latvijas rekordu izcīnījis 4. vietu Eiropas čempionātā (tā paša gada novembrī tika paziņots, ka pēc Davita Gogijas diskvalifikācijas Plēsniekam piešķirta bronzas medaļa),[13] grūšanā bijis 2. vietā.[14] 2013. gadā kļuvis arī par Eiropas U-23 čempionu.[15] Tā paša gada oktobrī izcīnījis 5. vietu Pasaules čempionātā ar kopsummā paceltiem 393 kilogramiem.[16] 2014. gada Eiropas čempionātā ierindojies 4. vietā,[17] bet Pasaules čempionātā — 10. vietā.[18]
2015. gadā Plēsnieks laboja Latvijas rekordu (405 kg) un izcīnīja bronzas medaļu Pasaules čempionātā.[19] 2016. gadā Plēsnieks kļuva par Eiropas čempionu, summā paceļot 403 kg.[20] 2016. gadā pārliecinoši kvalificējās olimpiskajām spēlēm Rio. Olimpiskajās spēlēs traumas dēļ neizdevās iecerētais. Pēc OS veica kreisā pleca operāciju. 2017. gadā veiksmīgi izcīnīja 2. vietu pasaules čempionātā, summa paceļot 402 kg.
2021. gada Eiropas čempionātā izcīnīja 6. vietu.[21]