Gausa teorēma elektriskajam laukam : ja lādiņu sistēmu (kopu) aptver iedomāta, patvaļīga, slēgta, viensakarīga virsma
S
{\displaystyle S\ }
, tad elektriskā lauka intensitātes plūsma
N
{\displaystyle N\ }
caur šo virsmu ir proporcionāla pilnajam elektriskajam lādiņam
q
{\displaystyle q\ }
virsmas ierobežotajā tilpumā.
N
=
q
ϵ
0
{\displaystyle N={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\ }
kur
N
{\displaystyle N\ }
- elektriskā lauka intensitātes plūsma (C ×m /F vai V *m )
q
{\displaystyle q\ }
- lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C )
ϵ
0
≈
{\displaystyle \epsilon _{0}\approx }
8,85×10-12 F /m - elektriskā konstante
Gausa teorēmu viegli pārbaudīt punktveida lādiņa laukam, ja lādiņu aptver ar sfēriski simetrisku virsmu. Elektriskā lauka intensitāte
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}\ }
visos sfēras virsmas punktos ir konstanta un vektors vērsts perpendikulāri virsmai. Tādēļ intensitātes plūsma caur sfēras virsmu ir šāda:
N
→
=
E
→
S
{\displaystyle {\vec {N}}={\vec {E}}S\ }
kur
S
{\displaystyle S\ }
- sfēras virsmas laukums m2
Tā kā
k
=
1
4
π
ϵ
0
{\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ }
E
→
=
k
q
r
2
{\displaystyle {\vec {E}}=k{\frac {q}{r^{2}}}\ }
un
S
=
4
π
r
2
{\displaystyle S=4\pi r^{2}\ }
tad
N
→
=
E
→
S
=
1
4
π
ϵ
0
q
r
2
4
π
r
2
=
q
ϵ
0
{\displaystyle {\vec {N}}={\vec {E}}S={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}4\pi r^{2}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\ }
N
=
∮
S
E
→
⋅
d
S
→
=
q
ϵ
0
{\displaystyle N=\oint _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\ }
kur
N
{\displaystyle N\ }
- elektriskā lauka intensitātes plūsma (C ×m /F vai V *m )
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}\ }
- elektriskā lauka intensitāte (N /C )
S
→
{\displaystyle {\vec {S}}\ }
- virsmas vektors (m2 )
q
{\displaystyle q\ }
- lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C )
ϵ
0
≈
{\displaystyle \epsilon _{0}\approx }
8,85×10-12 F /m - elektriskā konstante
E
→
=
k
q
r
3
r
→
{\displaystyle {\vec {E}}=k{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}\ }
Savukārt
d
S
→
=
n
→
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}={\vec {n}}\mathrm {d} S\ }
kur
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}\ }
- virsmas normāle.
Tādēļ lauka elementārplūsma caur virsmas elementu
d
S
→
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}}
ir
d
N
=
(
E
→
n
→
)
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} N=({\vec {E}}{\vec {n}})\mathrm {d} S\ }
d
S
r
=
d
S
cos
α
{\displaystyle \mathrm {d} S_{r}=\mathrm {d} S\cos \alpha \ }
d
S
r
{\displaystyle \mathrm {d} S_{r}\ }
- virsmas elementa projekcija uz sfēras virsmu, kuras rādiuss ir
r
{\displaystyle r\ }
α
{\displaystyle \alpha \ }
- leņķis starp intensitātes vektoru
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}\ }
un normāles vektoru
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}\ }
Līdz ar to formula
d
N
=
(
E
→
n
→
)
d
S
{\displaystyle \mathrm {d} N=({\vec {E}}{\vec {n}})\mathrm {d} S\ }
pārvēršas šādi:
d
N
=
E
→
d
S
r
{\displaystyle \mathrm {d} N={\vec {E}}\mathrm {d} S_{r}\ }
d
S
r
{\displaystyle \mathrm {d} S_{r}\ }
var izteikt vēl ar telpas leņķa elementu, tas ir:
d
S
r
=
r
2
d
Ω
{\displaystyle \mathrm {d} S_{r}=r^{2}\mathrm {d} \Omega \ }
d
Ω
{\displaystyle \mathrm {d} \Omega \ }
- telpas leņķa elements
Līdz ar to var iegūt, ka
d
N
=
k
q
r
2
r
2
d
Ω
=
k
q
d
Ω
{\displaystyle \mathrm {d} N=k{\frac {q}{r^{2}}}r^{2}\mathrm {d} \Omega =kq\mathrm {d} \Omega \ }
Lai iegūtu punktveida lādiņa elektriskā lauka intensitātes plūsmu, šī izteiksme ir jāintegrē caur virsmu
S
{\displaystyle S\ }
, tas ir:
N
=
∫
S
d
N
=
∫
S
k
q
d
Ω
=
k
q
Ω
{\displaystyle N=\int _{S}\mathrm {d} N=\int _{S}kq\mathrm {d} \Omega =kq\Omega \ }
Ω
=
4
π
{\displaystyle \Omega =4\pi \ }
sr
N
=
k
q
4
π
=
1
4
π
ϵ
0
q
4
π
=
q
ϵ
0
{\displaystyle N=kq4\pi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}q4\pi ={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\ }
Plūsma nav atkarīga no virsmas izvēles.
Ja virsmas ierobežotajā tilpumā atrodas patvaļīga lādiņu
Δ
q
{\displaystyle \Delta q\ }
kopa, tad, piemērojot Gausa teorēmu katram lādiņam
Δ
q
{\displaystyle \Delta q\ }
, pēc superpozīcijas principa iegūstam integrālo teorēmu
E
→
(
r
→
)
=
F
→
(
r
→
)
q
{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {{\vec {F}}({\vec {r}})}{q}}\ }
, kurā
q
=
Σ
Δ
q
{\displaystyle q=\Sigma \Delta q\ }