Gausa teorēma

Gausa teorēma elektriskajam laukam: ja lādiņu sistēmu (kopu) aptver iedomāta, patvaļīga, slēgta, viensakarīga virsma $S\$, tad elektriskā lauka intensitātes plūsma $N\$ caur šo virsmu ir proporcionāla pilnajam elektriskajam lādiņam $q\$ virsmas ierobežotajā tilpumā.

Nosaukums

Teorēmas nosaukums nenozīmē, ka tā ir kādas žiperīgas teorēmas pretstats. Tā nodēvēta Kārļa Gausa vārdā, kurš to atklāja 40 gadus pēc tam, kad to 1773. gadā atklāja Lagranžs, kurš tiek uzskatīts par pirmo teorēmas atklājēju.

Skalārā forma

$N={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\$

kur

$N\$ - elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)

$q\$ - lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)

$\epsilon _{0}\approx$ 8,85×10^-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmu viegli pārbaudīt punktveida lādiņa laukam, ja lādiņu aptver ar sfēriski simetrisku virsmu. Elektriskā lauka intensitāte ${\vec {E}}\$ visos sfēras virsmas punktos ir konstanta un vektors vērsts perpendikulāri virsmai. Tādēļ intensitātes plūsma caur sfēras virsmu ir šāda:

${\vec {N}}={\vec {E}}S\$

kur

$S\$ - sfēras virsmas laukums m²

Tā kā

$k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\$

${\vec {E}}=k{\frac {q}{r^{2}}}\$

un

$S=4\pi r^{2}\$

tad

${\vec {N}}={\vec {E}}S={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}4\pi r^{2}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\$

Vektoriālā forma

$N=\oint _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\$

kur

$N\$ - elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)

${\vec {E}}\$ - elektriskā lauka intensitāte (N/C)

${\vec {S}}\$ - virsmas vektors (m²)

$q\$ - lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)

$\epsilon _{0}\approx$ 8,85×10^-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmas pierādījums

• Gausa teorēmu var pamatot, lietojot elektrisko lauku superpozīcijas principu.
• Punktveida lādiņam $q\$ pierādījums izriet no Kulona likuma. Elektriskā lauka intensitāte uz virsmas ir

${\vec {E}}=k{\frac {q}{r^{3}}}{\vec {r}}\$

Savukārt

$\mathrm {d} {\vec {S}}={\vec {n}}\mathrm {d} S\$

kur ${\vec {n}}\$ - virsmas normāle.

Tādēļ lauka elementārplūsma caur virsmas elementu $\mathrm {d} {\vec {S}}$ ir

$\mathrm {d} N=({\vec {E}}{\vec {n}})\mathrm {d} S\$

• $\mathrm {d} S_{r}=\mathrm {d} S\cos \alpha \$

$\mathrm {d} S_{r}\$ - virsmas elementa projekcija uz sfēras virsmu, kuras rādiuss ir $r\$

$\alpha \$ - leņķis starp intensitātes vektoru ${\vec {E}}\$ un normāles vektoru ${\vec {n}}\$

Līdz ar to formula

$\mathrm {d} N=({\vec {E}}{\vec {n}})\mathrm {d} S\$

pārvēršas šādi:

$\mathrm {d} N={\vec {E}}\mathrm {d} S_{r}\$

$\mathrm {d} S_{r}\$ var izteikt vēl ar telpas leņķa elementu, tas ir:

$\mathrm {d} S_{r}=r^{2}\mathrm {d} \Omega \$

$\mathrm {d} \Omega \$ - telpas leņķa elements

Līdz ar to var iegūt, ka

$\mathrm {d} N=k{\frac {q}{r^{2}}}r^{2}\mathrm {d} \Omega =kq\mathrm {d} \Omega \$

Lai iegūtu punktveida lādiņa elektriskā lauka intensitātes plūsmu, šī izteiksme ir jāintegrē caur virsmu $S\$, tas ir:

$N=\int _{S}\mathrm {d} N=\int _{S}kq\mathrm {d} \Omega =kq\Omega \$

$\Omega =4\pi \$ sr

$N=kq4\pi ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}q4\pi ={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\$

Gausa teorēmas secinājumi

• Plūsma nav atkarīga no virsmas izvēles.
• Ja virsmas ierobežotajā tilpumā atrodas patvaļīga lādiņu $\Delta q\$ kopa, tad, piemērojot Gausa teorēmu katram lādiņam $\Delta q\$, pēc superpozīcijas principa iegūstam integrālo teorēmu ${\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {{\vec {F}}({\vec {r}})}{q}}\$, kurā $q=\Sigma \Delta q\$