Gausa teorēma

Vikipēdijas lapa
Jump to navigation Jump to search

Gausa teorēma elektriskajam laukam: ja lādiņu sistēmu (kopu) aptver iedomāta, patvaļīga, slēgta, viensakarīga virsma , tad elektriskā lauka intensitātes plūsma caur šo virsmu ir proporcionāla pilnajam elektriskajam lādiņam virsmas ierobežotajā tilpumā.

Nosaukums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Teorēmas nosaukums nenozīmē, ka tā ir kādas žiperīgas teorēmas pretstats. Tā nodēvēta Kārļa Gausa vārdā, kurš to atklāja[1] 40 gadus pēc tam, kad to 1773. gadā atklāja Lagranžs,[2] kurš tiek uzskatīts par pirmo teorēmas atklājēju.[3]

Skalārā forma[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Intensitates plusma.JPG
kur
- elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)
- lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)
8,85×10-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmu viegli pārbaudīt punktveida lādiņa laukam, ja lādiņu aptver ar sfēriski simetrisku virsmu. Elektriskā lauka intensitāte visos sfēras virsmas punktos ir konstanta un vektors vērsts perpendikulāri virsmai. Tādēļ intensitātes plūsma caur sfēras virsmu ir šāda:

kur
- sfēras virsmas laukums m2

Tā kā

un

tad

Vektoriālā forma[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

kur
- elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)
- elektriskā lauka intensitāte (N/C)
- virsmas vektors (m2)
- lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)
8,85×10-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmas pierādījums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Gausa teorema.JPG

Savukārt

kur - virsmas normāle.

Tādēļ lauka elementārplūsma caur virsmas elementu ir

- virsmas elementa projekcija uz sfēras virsmu, kuras rādiuss ir
- leņķis starp intensitātes vektoru un normāles vektoru

Līdz ar to formula

pārvēršas šādi:

var izteikt vēl ar telpas leņķa elementu, tas ir:

- telpas leņķa elements

Līdz ar to var iegūt, ka

Lai iegūtu punktveida lādiņa elektriskā lauka intensitātes plūsmu, šī izteiksme ir jāintegrē caur virsmu , tas ir:

sr

Gausa teorēmas secinājumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Plūsma nav atkarīga no virsmas izvēles.
  • Ja virsmas ierobežotajā tilpumā atrodas patvaļīga lādiņu kopa, tad, piemērojot Gausa teorēmu katram lādiņam , pēc superpozīcijas principa iegūstam integrālo teorēmu , kurā

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Carl Friedrich Gauss. Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata (Latin). (Gauss, Werke, vol. V, p. 1).
  2. Lagrange, Joseph-Louis (1773). "Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques" (French). Mémoires de l'Académie de Berlin: 125.
  3. Pierre Duhem. Leçons sur l'électricité et le magnétisme (French). vol. 1, ch. 4, p. 22–23. shows that Lagrange has priority over Gauss. Others after Gauss discovered "Gauss' Law", too.