Gausa teorēma

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Gausa teorēma elektriskajam laukam: ja lādiņu sistēmu (kopu) aptver iedomāta, patvaļīga, slēgta, viensakarīga virsma S \ , tad elektriskā lauka intensitātes plūsma N \ caur šo virsmu ir proporcionāla pilnajam elektriskajam lādiņam q \ virsmas ierobežotajā tilpumā.

Skalārā forma[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Intensitates plusma.JPG
N = \frac{q}{\epsilon_0} \
kur
N \ - elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)
q \ - lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)
\epsilon_0 \approx 8,85×10-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmu viegli pārbaudīt punktveida lādiņa laukam, ja lādiņu aptver ar sfēriski simetrisku virsmu. Elektriskā lauka intensitāte \vec{E} \ visos sfēras virsmas punktos ir konstanta un vektors vērsts perpendikulāri virsmai. Tādēļ intensitātes plūsma caur sfēras virsmu ir šāda:

\vec{N} = \vec{E} S \
kur
S \ - sfēras virsmas laukums m2

Tā kā

k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \
\vec{E} = k \frac {q}{r^2} \

un

S = 4 \pi r^2 \

tad

\vec{N} = \vec{E} S = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac {q}{r^2} 4 \pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0}\

Vektoriālā forma[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

N = \oint_S \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac{q}{\epsilon_0} \
kur
N \ - elektriskā lauka intensitātes plūsma (C×m/F vai V*m)
\vec{E} \ - elektriskā lauka intensitāte (N/C)
\vec{S} \ - virsmas vektors (m2)
q \ - lādiņš, kurš rada elektrisko lauku (C)
\epsilon_0 \approx 8,85×10-12 F/m - elektriskā konstante

Gausa teorēmas pierādījums[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Gausa teorema.JPG
\vec{E} = k \frac {q}{r^3} \vec{r}\

Savukārt

\mathrm{d}\vec{S} = \vec{n} \mathrm{d}S \
kur \vec{n} \ - virsmas normāle.

Tādēļ lauka elementārplūsma caur virsmas elementu \mathrm{d}\vec{S} ir

\mathrm{d}N = (\vec{E} \vec{n}) \mathrm{d}S \
  • \mathrm{d} S_r = \mathrm{d}S \cos \alpha \
\mathrm{d} S_r \ - virsmas elementa projekcija uz sfēras virsmu, kuras rādiuss ir r \
\alpha \ - leņķis starp intensitātes vektoru \vec{E} \ un normāles vektoru \vec{n} \

Līdz ar to formula

\mathrm{d}N = (\vec{E}\vec{n}) \mathrm{d}S \

pārvēršas šādi:

\mathrm{d}N = \vec{E} \mathrm{d} S_r \

\mathrm{d} S_r \ var izteikt vēl ar telpas leņķa elementu, tas ir:

\mathrm{d} S_r = r^2 \mathrm{d}\Omega \
\mathrm{d}\Omega \ - telpas leņķa elements

Līdz ar to var iegūt, ka

\mathrm{d} N = k \frac {q}{r^2} r^2 \mathrm{d}\Omega = k q \mathrm{d}\Omega \

Lai iegūtu punktveida lādiņa elektriskā lauka intensitātes plūsmu, šī izteiksme ir jāintegrē caur virsmu S \ , tas ir:

N = \int_S \mathrm{d} N = \int_S k q \mathrm{d}\Omega = k q \Omega \
\Omega = 4 \pi \ sr
N = k q 4 \pi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q 4 \pi = \frac{q}{\epsilon_0}\

Gausa teorēmas secinājumi[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Plūsma nav atkarīga no virsmas izvēles.
  • Ja virsmas ierobežotajā tilpumā atrodas patvaļīga lādiņu \Delta q \ kopa, tad, piemērojot Gausa teorēmu katram lādiņam \Delta q \ , pēc superpozīcijas principa iegūstam integrālo teorēmu \vec{E}(\vec{r}) = \frac {\vec{F}(\vec{r})}{q} \ , kurā q = \Sigma \Delta q \