Zelta griezums

Trīs savstarpēji perpendikulāri ikosaedrā ievilkti "zelta taisnstūri"

Zelta griezums (pazīstams arī ar nosaukumiem zelta šķēlums un dievišķā proporcija) ir matemātiska konstante, kas vienāda ar

${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{,}6180339887\dots .$

Visbiežāk zelta griezums ir sastopams ģeometrijā — tas parādās gan plaknes figūrās, piemēram, pentagrammā un logaritmiskajā spirālē, gan telpiskās figūrās, piemēram, dodekaedrā un ikosaedrā — taču tas sastopams arī algebrā, piemēram, saistībā ar Fibonači skaitļiem. Zelta griezums ir sastopams ne tikai matemātikā, bet arī mākslā, dabā un arhitektūrā.

Definīcija un aprēķināšana

Nogriežņu garumu a un b attiecība ir vienāda ar zelta griezumu, ja (a + b) / a = a / b

Saka, ka nogrieznis ir sadalīts daļās, kuru garumu a un b (a > b) attiecība ir vienāda ar zelta griezumu, ja visa nogriežņa garuma a + b attiecība pret garākā nogriežņa garumu a ir vienāda ar garākā nogriežņa garuma a attiecību pret īsākā nogriežņa garumu b jeb

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}.$

Matemātikā zelta griezumu pieņemts apzīmēt ar Grieķu burtu fī (φ). Lai atrastu zelta griezuma vērtību, apzīmē φ =a / b un pārraksta augstāk esošo vienādojumu šādi:

$1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi .$

Lai šo vienādojumu atrisinātu, abas puses pareizinot ar φ un iegūst kvadrātvienādojumu

$\varphi +1=\varphi ^{2}$     jeb     $\varphi ^{2}-\varphi -1=0.$

Šī vienādojuma vienīgais pozitīvais atrisinājums ir vienāds ar zelta griezumu:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{,}6180339887\dots .$

Īpašības

Skaitlis φ ir algebrisks (tas ir sakne polinomam ar veseliem koeficientiem) un iracionāls (to nevar uzrakstīt formā p / q, kur p un q ir veseli skaitļi).

Skatīt arī

• Fibonači skaitļi
• Sakrālā ģeometrija

Ārējās saites

• [1] Sakrālā ģeometrija - Dievišķā proporcija