Komplekss skaitlis

Kompleksu skaitli vizuāli var attēlot kā vektoru ar divām komponentēm jeb kā punktu plaknē

Matemātikā kompleksos skaitļus iegūst, reālajiem skaitļiem pievienojot imagināro vienību i, kas apmierina vienādojumu i² = −1. (Elektrotehnikā un citās tehniskajās nozarēs imagināro vienību apzīmē ar $j$, lai nejauktu ar strāvas momentāno vērtību $i$.)

Jebkuru kompleksu skaitli var uzrakstīt vienā vienīgā veidā formā a + bi, kur a un b ir reāli skaitļi. Skaitļus a un b sauc attiecīgi par kompleksā skaitļa reālo un imagināro daļu.

Kompleksie skaitļi veido algebrisku struktūru, ko sauc par lauku, tāpēc tos var saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt tāpat kā reālos skaitļus. Atšķirībā no reālajiem skaitļiem, kompleksa skaitļa kvadrāts var būt negatīvs, piemēram, (3i)² = −9. Skaitļus ar šādu īpašību sauc par imagināriem.

Apzīmējumi

Kompleksos skaitļus visbiežāk pieraksta formā a + bi, kur a un b ir reāli skaitļi un ar i tiek apzīmēta imaginārā vienība, kam piemīt īpašība i² = −1. Visu reālo skaitļu kopu parasti apzīmē ar R vai $\mathbb {R}$, bet visu komplekso skaitļu kopu — ar C vai $\mathbb {C}$. Starp šīm kopām pastāv vienkārša sakarība:

$\mathbb {C} =\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {R} \}.$

Skaitli a sauc par kompleksā skaitļa z = a + bi reālo daļu, bet b — par tā imagināro daļu. Piemēram, 3 + 2i ir komplekss skaitlis, kura reālā daļa ir 3, bet imaginārā daļa ir 2. Kompleksā skaitļa z reālajai un imaginārajai daļai lieto šādus apzīmējumus:

$\operatorname {Re} (z)=\Re (z)=a,$

$\operatorname {Im} (z)=\Im (z)=b.$

Reālā un imaginārā daļa viennozīmīgi nosaka komplekso skaitli (un otrādi).

Reālo skaitļu kopa R ir komplekso skaitļu kopas C apakškopa, jo jebkuru reālu skaitli var uzskatīt par kompleksu skaitli, kura imaginārā daļa vienāda ar nulli (reālu skaitli a ∈ R identificē ar kompleksu skaitli a + 0i ∈ C). Kompleksus skaitļus, kuru reālā daļa ir nulle, sauc par imagināriem un pieraksta kā bi. Ja a = 0 un b = 1, tad atbilstošo komplekso skaitli pieraksta vienkārši kā i.

Dažās nozarēs (it īpaši, elektroinženierijā, kur ar i tiek apzīmēts strāvas stiprums) imagināro vienību mēdz apzīmēt ar j nevis i. Tādā gadījumā kompleksos skaitļus pieraksta kā a + bj.

Darbības ar kompleksiem skaitļiem

Vienādošana

a + bi = c + di tad un tikai tad, ja a = c un b = d.

Salīdzināšana

Simboli $<,>,\leq ,\geq$ nav pielietojami attiecībā uz kompleksiem skaitļiem. Piemēram, izteicienam $z_{1}<z_{2}$ nav jēgas. Salīdzināt var tikai komplekso skaitļu moduļus, t. i. skaitļu attālumus no koordināšu sākuma. Piemēram, $\left\vert z_{3}\right\vert <\left\vert z_{4}\right\vert$,

Saskaitīšana un atņemšana

(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.

Reizināšana

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi² = (ac − bd) + (bc + ad)i.

Dalīšana

${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\,i.$

Formāla definīcija

Sastopoties ar kompleksajiem skaitļiem, tie parasti raisa neticību, jo nav skaidrs, vai eksistē tāds skaitlis i, kura kvadrāts ir −1. Patiešām, reāls skaitlis ar šādu īpašību neeksistē. Taču i nav reāls skaitlis — ja kompleksos skaitļus vēlas ieviest formāli, tad "skaitli" i ar īpašību i² = −1 ir nepieciešams konstruēt, nevis postulēt tā eksistenci.

Formāli komplekss skaitlis ir reālu skaitļu sakārtots pāris, bet visu komplekso skaitļu kopa C ir visu reālo skaitļu pāru kopa (to apzīmē ar R × R jeb R²), kurā saskaitīšanas un reizināšanas darbības ir ieviestas šādi:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a, b)·(c, d) = (a·c − b·d, b·c + a·d).

Šī definīcija var šķist dīvaina, taču var viegli pārliecināties, ka darbības ar pāriem formā (a, 0) ne ar ko neatšķiras no darbībām ar reālajiem skaitļiem:

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0),

(a, 0)·(c, 0) = (a·c, 0).

Redzam arī, ka reālajam skaitlim −1 atbilst pāris (−1, 0), bet pārim (0, 1) piemīt īpašība

(0, 1)² = (0, 1)·(0, 1) = (0·0 − 1·1, 1·0 + 0·1) = (−1, 0).

Ja apzīmējam i = (0, 1), tad esam ieguvuši tādu i, kam izpildās sakarība i² = −1, pie kam tas tika formāli uzkonstruēts, nevis postulēts. Redzam, ka iegūtais i patiešām nav reāls skaitlis, jo reālie skaitļi atbilst pāriem formā (a, 0).

Veicot aprēķinus, parasti nemēdz izmantot formālo kompleksā skaitļa pierakstu (a, b). Tā vietā pāri (a, b) apzīmē ar a + ib un, reizinot kompleksos skaitļus, tiešā veidā izmanto sakarību i² = −1. Nav grūti pārliecināties, ka augstāk definētās darbības ar pāriem (a, b) un (c, d) ir saskaņotas ar daudz pierastākajām darbībām ar atbilstošajām izteiksmēm a + bi un c + di:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi)·(c + di) = (a·c − b·d) + (b·c + a·d)i.

Komplekso skaitļu formas

Kompleksos skaitļus ir iespējams pierakstīt vairākos veidos. Populārākās pieraksta formas ir algebriskā, trigonometriskā un eksponenciālā forma. Šo formu pamatā ir dažādas koordinātu sistēmas plaknē.

Algebriskā forma

Kompleksa skaitļa z algebriskā forma ir

$z=a+bi,\,$

kur a un b ir reāli skaitļi. Algebriskās formas pamatā ir Dekarta koordinātu sistēma. Algebriskā forma ir piemērota, lai izpildītu komplekso skaitļu saskaitīšanu un atņemšanu.

Trigonometriskā forma

Kompleksa skaitļa z izteikšanai trigonometriskajā formā lieto trigonometriskās funkcijas sinuss un kosinuss:

$z=r\cos \varphi +ir\sin \varphi ,\,$

kur r > 0 un −π < φ ≤ π. Trigonometriskās formas pamatā ir polārā koordinātu sistēma, jo komplekso skaitli raksturo ar tā polārajām koordinātēm (r, φ), taču no trigonometriskās formas var viegli nolasīt arī kompleksā skaitļa Dekarta koordinātas, jo reālā un imaginārā daļa ir nodalītas atsevišķi. Trigonometriskā forma ir cieši saistīta ar eksponentformu.

Eksponentforma

Lai kompleksu skaitli z izteiktu eksponentformā, izmanto eksponentfunkciju ar imagināru kāpinātāju:

$z=re^{i\varphi },$

kur r > 0 un −π < φ ≤ π. Eksponentformu mēdz saukt arī par polāro formu, jo tās pamatā ir polārā koordinātu sistēma. Kompleksus skaitļus eksponentformā ir ērti reizināt un dalīt, kā arī kāpināt un vilkt n-tās pakāpes saknes, taču tā nav piemērota saskaitīšanai un atņemšanai. Eksponentforma ir līdzīga trigonometriskajai formai.

Kompleksi saistītais skaitlis un kompleksa skaitļa modulis

Skaitlim z atbilstošā kompleksi saistītā skaitļa z ģeometriskā reprezentācija kompleksajā plaknē.

Kompleksi saistītais skaitlis

Par kompleksa skaitļa z = x + iy kompleksi saistīto skaitli sauc x − iy un to parasti apzīmē ar z vai z^*. Piemēram, 3 + 2i = 3 − 2i, 4 − i = 4 + i, i = − i un 5 = 5.

Kompleksi saistītā skaitļa atrašanas darbība ir saderīga ar aritmētikas pamatdarbībām:

${\overline {z\pm w}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}},\quad {\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}},\quad {\overline {\left(z/w\right)}}={\overline {z}}/{\overline {w}}.$

Kompleksi saistītā skaitļa atrašana ģeometriski atbilst atspoguļošanai pret reālo asi kompleksajā plaknē (skatīt attēlu). Šī darbība ir involūcija jeb pati sev inversā, jo

${\overline {\overline {z}}}=z.$

Visbiežāk kompleksi saistīto skaitli izmanto absolūtās vērtības un apgrieztā skaitļa atrašanai:

$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}},\quad {\frac {1}{z}}={\frac {1\cdot {\overline {z}}}{z\cdot {\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}.$

Kompleksi saistīto skaitli var izmantot arī reālās un imaginārās daļas atrašanai:

$\operatorname {Re} (z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}},\quad \operatorname {Im} (z)={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}.$

Kompleksi saistītā skaitļa vispārinājums matricām ir konjugēti transponētā matrica.

Kompleksa skaitļa modulis

Kompleksa skaitļa z = x + iy modulis jeb absolūtā vērtība raksturo kompleksajam skaitlim atbilstošā vektora (x, y) garumu jeb to, cik tālu punkts (x, y) atrodas no koordinātu sākumpunkta.

Algebriskā formā dota kompleksa skaitļa moduli aprēķina ar Pitagora teorēmas palīdzību:

$|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

Eksponentformā dota kompleksa skaitļa modulis ir vienāds ar r:

$|re^{i\varphi }|=r.$

Neatkarīgi no kompleksā skaitļa z uzdošanas formas, tā moduli var aprēķināt, izmantojot kompleksi saistīto skaitli:

$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.$

Kompleksa skaitļa modulis definē normu komplekso skaitļu kopā. Tam piemītošās īpašības ir uzskaitītas zemāk esošajā tabulā.

Īpašība	Matemātiskais pieraksts
nenegativitāte	$|z|\geq 0\,$
nedeģenerētība	$|z|=0\,$  tad un tikai tad, ja $z=0\,$
trīsstūra nevienādība	$|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|\,$
multiplikativitāte	$|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\,|z_{2}|\,$

Komplekso skaitļu konstruēšana

Kompleksos skaitļus ir iespējams konstruēt vairākos veidos — zemāk ir aprakstītas trīs populārākās metodes. Neskatoties uz to, ka šīs metodes ir ļoti atšķirīgas, ar to palīdzību iegūtās konstrukcijas ir izomorfas jeb ne ar ko būtisku neatšķiras.

Reālu skaitļu pāri

Vispopulārākā komplekso skaitļu konstruēšanas metode ir izmantojot reālu skaitļu pārus. Šo metodi parasti lieto, lai formāli definētu kompleksos skaitļus (skatīt sadaļu Formāla definīcija).

Matricas

Kompleksos skaitļus var konstruēt izmantojot 2 × 2 reālas antisimetriskas matricas (matricu M sauc par antisimetrisku, ja M^T = −M, kur M^T ir matricas M transponētā matrica). Ja kādu skaitli pareizina ar viens, tad iegūst to pašu skaitli, tāpēc skaitlim 1 atbilst vienības matrica $I=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)$. Skaitlim i atbilstošajai matricai $J\,$ ir jāizpildās īpašībai

$J^{2}=-I,\,$

jo i² = −1. Viena no matricām, kam piemīt šī īpašība ir $J=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)$, jo $J^{2}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\cdot \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)$. Ja šo matricu piekārto skaitlim i, tad patvaļīgam algebriskajā formā dotam kompleksam skaitlim atbilstošo matricu var atrast šādi:

$a+bi\Longleftrightarrow {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.$

Ir viegli redzēt, ka komplekso skaitļu saskaitīšana ir saskaņota ar atbilstošo matricu saskaitīšanu. Nav grūti pārliecināties, ka arī reizināšana ir saskaņota:

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac-bd&-(bc+ad)\\bc+ad&ac-bd\end{pmatrix}}.$

Tas nozīme, ka starp kompleksajiem skaitļiem un reālajām 2 × 2 antisimetriskajām matricām var nodibināt šādu atbilstību:

$\mathbb {C} \cong {\bigg \{}{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\,{\bigg |}\;a,b\in \mathbb {R} {\bigg \}}.$

Starp kompleksajiem skaitļiem polārajā formā un matricām pastāv šāda atbilstība:

$re^{i\varphi }\Longleftrightarrow r{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}},$

kur matrica $\left({\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}\right)$ atbilst koordinātu plaknes rotācijai pa leņķi φ pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam. Zinot šo atbilstību var ievērot šādu izomorfismu:

$\mathbb {C} \cong \{r\,O\mid r\in \mathbb {R} ,O\in \mathrm {SO} (2)\},$

kur SO(2) ir speciālā ortogonālā grupa jeb reālās 2 × 2 matricas, kas atbilst rotācijām.

Polinomu ekvivalences klases

Kompleksos skaitļus var uzkonstruēt ar ekvivalences klašu palīdzību kopā, kas satur visus polinomus ar reāliem koeficientiem. Šo kopu ir pieņemts apzīmēt ar R[x]. Uzskatīsim divus polinomus par ekvivalentiem, ja to starpība ir polinoma x² + 1 daudzkārtnis. Piemēram, polinomi x³ − 4x² + 3x − 5 un 2x − 1 ir ekvivalenti, jo

(x³ − 4x² + 3x − 5) − (2x − 1) = (x − 4) (x² + 1).

Var pārliecināties, ka iegūto ekvivalences klašu kopa atbilst kompleksajiem skaitļiem jeb simboliskā pierakstā C ≅ R[x]/(x² + 1). Neformāli šī sakarība izsaka to, ka kompleksie skaitļi atbilst polinomiem ar reāliem koeficientiem "pēc moduļa" x² + 1. Šajā konstrukcijā imaginārajai vienībai i atbilst polinoms x, bet kompleksam skaitlim a + bi atbilst polinoms a + bx. Turpretim polinoms x² + 1 atbilst kompleksam skaitlim 0.

Nav grūti redzēt, ka komplekso skaitļu saskaitīšana ir saskaņota ar atbilstošo polinomu ekvivalences klašu saskaitīšanu. Tas, ka arī reizināšana ir saskaņota, nav acīmredzami, taču par to nav grūti pārliecināties. Komplekso skaitļu a + bi un c + di reizinājumam atbilst polinoms

(a + bx) (c + dx) = ac + (bc + ad)x + bdx².

Tā kā polinomi x² un −1 ir ekvivalenti, tad iegūtais polinoms ir ekvivalents polinomam

(ac − bd) + (bc + ad)x.

Tātad polinomu ekvivalences klašu reizināšanas likums saskan ar komplekso skaitļu reizināšanas likumu.

Kompleksā mainīgā funkcijas

Kompleksā mainīgā funkcijas $f(x)={\tfrac {(x^{2}-1)(x-2-i)^{2}}{x^{2}+2+2i}}$ grafiks. Ar dažādu krāsu palīdzību attēlots kompleksā skaitļa arguments, bet ar gaišuma palīdzību — tā absolūtā vērtība.

eksponentfunkcija

$e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b).\,$

naturālais logaritms

$\operatorname {Ln} z=\ln |z|+i(\arg z+2\pi k),\quad k\in \mathbb {Z} .$

sinuss

$\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}.$

kosinuss

$\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}.$

Vēsture

Iespējams, ka pirmo reizi pie idejas par kvadrātsakni no negatīva skaitļa ir nonācis Aleksandrijas Hērons mūsu ēras 1. gadsimtā darbā "Stereometrija", kaut gan tajā laikā formāls negatīva skaitļa jēdziens vēl nebija ieviests.

Kompleksie skaitļi kļuva daudz populārāki 16. gadsimtā, kad Nikolo Tartaļja un Džerolāmo Kardāno ieguva formulas kubiskā un ceturtās pakāpes vienādojuma risināšanai. Zīmīgi, ka Tartaļjas iegūtajā kubiskā vienādojuma formulā nebija iespējams izvairīties no komplekso skaitļu parādīšanās pat tad, ja atrisinājums ir reāls. Tas neapšaubāmi norādīja uz komplekso skaitļu lielo nozīmi, taču vienlaicīgi arī sagādāja lielas galvassāpes tā laika matemātiķiem (tajā laikā pat uz negatīviem skaitļiem mēdza skatīties ar aizdomām). Sešpadsmitajā gadsimtā pat ievērojami matemātiķi mēdza apgalvot, ka kompleksie skaitļi neeksistē un dēvēja tos par "fiktīviem", "absurdiem" un "aplamiem". Patiesībā šādi apgalvojumi ir tikpat absurdi, kā, piemēram, apgalvojums, ka nepāra skaitļi neeksistē.

Neskatoties uz garo un grūto komplekso skaitļu vēsturi, mūsdienās to eksistence netiek apšaubīta un tie tiek plaši lietoti gan matemātikā, gan fizikā. Varētu pat teikt, ka mūsdienu matemātiķi un fiziķi kompleksos skaitļus uzskata par daudz dabīgākiem un "reālākiem" nekā reālie skaitļi.

Skatīt arī

• Mandelbrota kopa
• Imaginārā vienība
• Eilera formula

Papildu literatūra

Latviski:

• Teodors Cīrulis, Kompleksie skaitļi vidusskolā. I daļa.^{[novecojusi saite]}, LIIS mācību materiāli.
• Teodors Cīrulis, Kompleksie skaitļi vidusskolā. II daļa.^{[novecojusi saite]}, LIIS mācību materiāli.
• Dace Cīrule, Teodors Cīrulis, Kompleksā mainīgā funkciju teorija^{[novecojusi saite]}, LIIS mācību materiāli.
• Eleonora Laudiņa, Sandra Krauze, Kompleksie skaitļi ģeometrijā^{[novecojusi saite]}, LIIS mācību materiāli.

Angliski:

• Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of [the Square Root of Minus One], Princeton University Press, ISBN 9780691027951.
• Andreescu, Titu; Andrica, Dorin (2005), Complex numbers from A to...Z, Springer, ISBN 9780817643263.
• Mumford, David; Series, Caroline; Wright, David (2002), Indra's pearls: the vision of Felix Klein, Cambridge University Press, ISBN 9780521352536, Chapter 2, A delightful fiction, 36. lpp.

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Complex Number, MathWorld.
• Complex number Arhivēts 2009. gada 8. maijā, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
• Intuitive Arithmetic With Complex Numbers, A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers, BetterExplained.com.
• Guntis Deksnis, Jēdziens par kompleksajiem skaitļiem^{[novecojusi saite]}, lekciju materiāli.