Kvadrātsakne

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Kvadrātsakne no x.

Kvadrātsakne matemātikā ir otrās pakāpes sakne no skaitļa. Kvadrātsakne no skaitļa x ir skaitlis a, kuru, reizinot pašu ar sevi, iegūst skaitli x, tas ir, . Skaitli x sauc par skaitļa a kvadrātu.[1] Kvadrātsaknes vilkšana ir pretējā darbība skaitļa celšanai kvadrātā. Piemēram, 4 un -4 ir kvadrātsakne no 16. Ikvienam nenegatīvam reālam skaitlim x ir unikāla nenegatīva kvadrātsakne, kuru sauc par galveno kvadrātsakni un apzīmē ar simbolu , kur radikāļa simbolu sauc par saknes zīmi vai sakni. Piemēram, galvenā kvadrātsakne no 9 ir 3, to pieraksta šādi: = 3, jo 32 = 3 · 3 = 9 un 3 ir nenegatīvs skaitlis. Skaitli vai izteiksmi x, kas atrodas zem saknes zīmes, sauc par zemsaknes skaitli vai zemsaknes izteiksmi, šajā piemērā tas ir 9.

Ikvienam pozitīvam skaitlim ir divas kvadrātsaknes: , kas ir pozitīvs, un , kas ir negatīvs. Īsāk to var pierakstīt . Tomēr termins "kvadrātsakne" bieži tiek izmantots ar nozīmi galvenā kvadrātsakne . Pozitīvam x var lietot arī pakāpju pierakstu: x1/2.[2]

Lai runātu par kvadrātsakni no negatīva skaitļa, ir jāapskata kompleksie skaitļi. Vispārīgi kvadrātsakni var aplūkot jebkurā kontekstā, kurā matemātiskiem objektiem ir definēta kāpināšana, piemēram, matricu algebrā.

Trešās pakāpes sakni sauc par kubsakni.

 Vēsture[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Babiloniešu māla plāksnīte YBC 7289 no Jeilas Babiloniešu kolekcijas tika izveidota starp 1800. un 1600. gadu pirms mūsu ēras. Tajā ir attēlota un kā skaitļi 1; 24; 51; 10 un 0; 42; 25; 35 skaitīšanas sistēmā ar bāzi 60 uz kvadrāta, kurā krustojas tā divas diagonāles.[3]

Rinda papiruss ir 1650. gada pirms mūsu ēras agrāka Berlīnes papirusa un citu rakstu kopija (iespējams, Kahuna papirusa), kurā attēlots, kā ēģiptieši izvilka kvadrātsakni, izmantojot apgriezto proporcionalitāti.[4]

Senajā Indijā zināšanas par kvadrāta un kvadrātsaknes teorētiskajiem un praktiskajiem aspektiem ir vismaz tik pat senas, cik Sulba Sūtras , ap 800. - 500. gadu pirms mūsu ēras (iespējams, daudz agrāk). Metode, lai atrastu ļoti labus tuvinājumus kvadrātsaknei no 2 un 3, ir izklāstīta Baudhayana Sūtrās.[5] Ārjabhata savā darbā Aryabhatiya (nodaļā 2.4) ir izklāstījis metodi, kā atrast kvadrātsakni no skaitļiem ar daudz cipariem.

Senajiem grieķiem bija zināms, ka kvadrātsakne no pozitīviem veseliem skaitļiem, kuri nav precīzi kāda skaitļa kvadrāts, vienmēr ir iracionāli skaitļi - skaitļi nav izsakāmi kā divu veselu skaitļu attiecība, tas ir, tos nevar uzrakstīt kā m/n, kur m un n ir veseli skaitļi. Teorēma par šo ir aprakstīta Eiklīda "Elementi" 10. grāmatā, teorēmas autors ir matemātiķis Teatets no Atēnām apmēram 380 gadus pirms mūsu ēras.[6] ir tieši kvadrāta ar malas garumu 1 diagonāles garums.

Ķīniešu matemātiskajā darbā Raksti par aprēķiniem, rakstīts starp 202. un 186. gadu pirms mūsu ēras, kvadrātsakne ir aproksimēta, lietojot "pārpalikumu un deficītu" metodi.[7]

Kvadrātsaknes simbolu, uzrakstītu kā izsmalcinātu R, izgudroja Regiomontans (1436-1476). Šāds pieraksts, lai apzīmētu kvadrātsakni, tika lietots arī Džerolāmo Kardāno darbā Ars Magna.[8]

Saskaņā ar matemātikas vēsturnieku D. E. Smitu, Ārjabhata metodi kvadrātsaknes atrašanai pirmo reizi Eiropā ieviesa Kataneo 1546. gadā.

Saskaņā ar Džofriju A. Oaku, arābi lietoja burtu  jīm/ĝīm (ج), tas ir pirmais burts no vārda “جذر” (tulkojums latviski: "sakne"), uzrakstītu tā sākotnējā formā (ﺟ) virs skaitļa, lai apzīmētu tā kvadrātsakni. Burts jīm atgādina pašreizējo kvadrātsaknes simbola formu. Tāds apzīmējums tika lietots līdz 12. gadsimta beigām Marokas matemātiķa Ibn al-Yasmin darbos.[9]

Simbols kvadrātsaknes apzīmēšanai pirmo reizi drukātā darbā ticis lietots 1525. gadā Kristofera Rūdolfa darbā Coss.[10]

Īpašības un lietojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Funkcijas grafiks, kas veidots no parabolas puses ar vertikālu direktrisi.

Galvenās kvadrātsaknes funkcija (parasti attiecināts uz "kvadrātsaknes funkcija") ir funkcija, kas reālo nenegatīvo skaitļu kopu attēlo par tādu pašu skaitļu kopu. Ģeometriskā interpretācija: kvadrātsaknes funkcija izsaka kvadrāta malas garumu, ja zināms ir tā laukums.

Kvadrātsakne no x ir racionāla tad un tikai tad, ja x ir racionāls skaitlis, kuru var attēlot kā divu racionālu skaitļu kvadrātu. Kvadrātsaknes funkcija racionālus skaitļus attēlo kā algebriskus skaitļus.

Visiem reāliem skaitļiem x:

Visiem reāliem nenegatīviem skaitļiem x un y:

un

Kvadrātsaknes funkcija ir nepārtraukta visiem nenegatīviem x un diferencējama visiem pozitīviem x. Ja f apzīmē kvadrātsaknes funkciju, tad tās atvasinājums ir:

Teilora rinda izteiksmei konverģē, kad , un ir dota:

Kvadrātsakne no nenegatīva skaitļa ir izmantota, lai definētu Eiklīda normu (un distanci), kā arī vispārinājumos, piemēram, Hilberta telpa. Tā definē svarīgu standartnovirzes koncepciju, kuru izmanto varbūtību teorijā un statistikā. Tai ir liela nozīme formulās, lai atrastu kvadrātvienādojumu saknes. Kvadrātu lauki un kvadrātisko skaitļu gredzeni, kas ir balstīti uz kvadrātsaknēm, ir svarīgi algebrā un ir pielietojami ģeometrijā. Kvadrātsaknes bieži parādās arī citās matemātikas formulās, kā arī fizikas likumos.

Aprēķināšana[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pārsvarā kalkulatoriem ir kvadrātsaknes poga. Tāpat arī kvadrātsaknes aprēķināšanai bieži izmanto datora izklājlapas un citas programmatūras. Parastajiem kalkulatoriem parasti ir ieviestas efektīvas procedūras, piemēram, Ņūtona metode (bieži ar sākotnējo pieņēmumu 1), lai aprēķinātu kvadrātsakni no pozitīva reāla skaitļa.[11][12] Rēķinot kvadrātsakni ar logaritma tabulām vai logaritmiskajiem lineāliem, katrs var izmantot identitātes

kur ln un log10 ir naturālais logaritms un decimālais logaritms (ar bāzi 10).

Lai atrastu kvadrātsakni , var lietot metodi, kurā aptuveni aplēš tās vērtību un tad to palielināt vai samazināt.Šai tehnikai noderīgi ir lietot identitāti

[13]

tā ļauj piemērot novērtēto x vērtību par noteiktu daudzumu c un aprēķināt piemērotās vērtības kvadrātu saistībā ar sākotnēji novērtēto vērtību x un tā kvadrātu. Turklāt (x + c)2 ≈ x2 + 2xc, kad c ir tuvu 0, jo grafika x2 + 2xc + c2 tangensiālā līnija punktā c=0 ir y = 2xc + x2. Līdz ar to nelielas x vērtības izmaiņas var būt paredzamas pie nosacījuma, ka a = 2xc jeb c = a/(2x).

Kvadrātsaknes aprēķināšanā ar roku visbiežākā iteratīvā metode ir zināma kā "Babilonijas metode" jeb "Hērona metode", kuru pirmais aprakstīja sengrieķu matemātiķis Hērons.[14] Šajā metodē tiek izmantota tāda paša iteratīvā shēma kādu dod Ņūtona metode, ja to piemēro funkcijai  y = f(x) = x2 − a, izmantojot to, ka tās slīpums katrā punktā ir dy/dx = f(x) = 2x.[15] Algoritms ir atkārtot vienkāršu aprēķinu, kā rezultātā rodas skaitlis, kas ir tuvāks patiesajai kvadrātsaknes vērtībai katru reizi, kad aprēķins tiek atkārtots ar jau iegūto rezultātu. Motivācija ir tāda, ka, ja x ir pārvērtēta kvadrātsaknes vērtība, tad a/x būs pārāk zems novērtējums, un vidējais aritmētiskais no šiem diviem skaitļiem būs labāks tuvinājums patiesajai kvadrātsaknes vērtībai nekā jebkurš no tiem atsevišķi. Tomēr nevienādība starp aritmētisko un ģeometrisko vidējo parāda, ka vidējā vērtība vienmēr būs pārvērtēta kvadrātsaknes vērtība, un to var izmantot kā jaunu pārvērtēto vērtību, lai atkārtotu algoritmu, kas konverģē uz secīgi pārvērtētām un nepietiekami novērtētām vērtībām, kas tuvojas viena otrai pēc katra algoritma iterācijas (atkārtojuma).Lai atrastu x:

  1. Sāk ar patvaļīgu pozitīvu sākuma vērtību x. Jo izvēlētā vērtība ir tuvāka patiesajai kvadrātsaknes no a vērtībai, jo mazāk iterāciju būs nepieciešams, lai sasniegtu vēlamo precizitāti.
  2. Aizvieto x ar vidējo aritmētisko starp a un a/x: (x + a/x) / 2.
  3. Atkārto 2. soli, lietojot iegūto vidējo kā jaunu x vērtību.

Tas ir, ja patvaļīgais minējums ir x0 un xn + 1 = (xn + a/xn) / 2, tad katrs xn tuvinājums , kas ir precīzāks ar lielāku n nekā mazāku. Ja a ir pozitīvs, tad konverģence ir kvadrātiska, kas nozīmē, ka, tuvojoties robežai, pareizo ciparu skaits aptuveni dubultojas ar katru nākamo iterāciju. Ja a = 0 , konverģence ir tikai lineāra.

Kvadrātsaknes no pozitīva skaitļa aprēķināšanai var lietot identitāti

skaitļiem, kas pieder intervālam [1, 4). Tas atvieglo sākuma vērtības atrašanu skaitļiem iteratīvajai metodei, lai tā būtu pēc iespējas tuvāka kvadrātsaknei. Tam var izmantot arī polinoma aproksimāciju

Kvadrātsaknes aprēķināšana līdz precizitātei ar n cipariem aizņem tik pat daudz laika, cik sareizināt divu n-ciparu skaitļus.

Kvadrātsaknes funkcijas nosaukumi ir atkarīgi no programmēšanas valodas. Bieži izmantots tiek apzīmējums sqrt[16], piemēram, valodās C, C++, JavaScript, PHP un Python.

Kvadrātsakne no negatīva skaitļa un kompleksie skaitļi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Jebkura pozitīva vai negatīva skaitļa kvadrāts ir pozitīvs, un 0 kvadrāts ir 0. Tādēļ nevienam negatīvam skaitlim nevar būt reāla kvadrātsakne. Tomēr ir iespējams darboties ar kompleksajiem skaitļiem, ar kuriem var uzrakstīt negatīva skaitļa kvadrātsaknes vērtību. Ir jāievieš jauns skaitlis, to apzīmē ar i un sauc par imagināro vienību, kuru definē kā . Lietojot šo apzīmējumu, i var uzskatīt par kvadrātsakni no -1, bet ir jāpiezīmē, ka , tātad arī -i ir kvadrātsakne no -1. Tiek pieņemts, ka galvenā kvadrātsakne no -1 ir i, vispārināti: ja x ir jebkurš nenegatīvs skaitlis, tad galvenā kvadrātsakne no -x ir

Labā puse (tāpat kā tās negatīvā vērtība) patiesi ir kvadrātsakne no -x, jo

Katram no nulles atšķirīgam kompleksam skaitlim z eksistē tieši divi skaitļi w, ka : galvenā kvadrātsaknes vērtība no z un tā negatīvā vērtība.

Kvadrātsakne no imagināra skaitļa[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kvadrātsakne no i kompleksā plaknē

Kvadrātsakne no i ir dota kā

Iegūto rezultātu var iegūt algebriski, atrodot tādus a un b, ka

No tā var iegūt divu nezināmo vienādojumu sistēmu

ar rezultātu

No tā galvenā kvadrātsakne ir

Rezultātu var iegūt arī, lietojot Moivra formulu:

no kā izriet, ka

. Ja z ir reāls, tad φ = 0 vai π. Galvenā sakne ir iekrāsota melna.

Galvenā kvadrātsakne no kompleksa skaitļa[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lai definētu vērtību, kura ļautu konstanti izvēlēties vienu un to pašu skaitli, sauktu par galveno kvadrātsaknes vērtību, no sākuma ir jāievēro, ka jebkurš komplekss skaitlis var tik uzskatīts kā punkts plaknē ar koordinātēm (x, y) Dekarta ortogonālo koordinātu sistēmā. Tas pats punkts var tikt aprakstīts, izmantojot polāro koordinātu sistēmu, ar (r, φ), kur raksturo distanci no koordinātu sākumpunkta un φ apraksta leņķi, kuru veido vektors r ar x ass pozitīvo virzienu. Kompleksajā analīzē šo vērtību visbiežāk raksta kā . Ja

tad galveno kvadrātsaknes vērtību no z definē kā:

Kvadrātsaknes galvenās vērtības funkcija ir holomorfiska visur, izņemot nepozitīvu reālu skaitļu kopā. izvirzījums Teilora rindā ir patiess kompleksiem skaitļiem, kamēr .

Augstāk teiktais var tikt arī aprakstīts, izmantojot trigonometriskās funkcijas:

Algebriskā formula[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kad skaitlis ir izteikts Dekarta koordinātās, galvenajai kvadrātsaknei var izmantot formulu:[17][18]

kur imaginārās daļas zīme ir tāda pati, kā sākotnējā skaitļa z imaginārās daļas zīme vai pozitīva, ja tā ir nulle. Galvenās kvadrātsaknes reālā daļa vienmēr ir nenegatīva.

Piezīmes[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kvadrātsaknes funkcija kompleksajā plaknē nav nepārtraukta, tāpēc kopumā šīs sakarības nav patiesas:

  • (izņēmums galvenajai kvadrātsaknei: z = -1 un w = -1)
  • (izņēmums galvenajai kvadrātsaknei: z = -1)
  • (izņēmums galvenajai kvadrātsaknei: z = -1)

Līdzīgas problēmas parādās arī ar citām kompleksām funkcijām, piemēram, kompleksais logaritms un sakarība vai , kas kopumā nav patiesas.

Kļūdaini pieņemot kādu no šīm sakarībām par patiesu, var nonākt pie nepareiziem pamatojumiem un pieņēmumiem, piemēram, ka -1 = 1:

Kvadrātsakne no matricas un operatora[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja matrica A ir pozitīvi noteikta matrica vai operators, tad eksistē viena vienīga matrica vai operators B, kuram izpildās ; tātad arī , bet vispārīgi matricām var būt vairākas saknes, pat bezgalīgi daudz atšķirīgu sakņu. Piemēram: 2×2 vienības matricai ir bezgalīgi daudz sakņu,[19] bet tikai viena no tām ir pozitīva noteikta

Galvenā kvadrātsakne no pozitīviem veseliem skaitļiem[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Decimālais pieraksts[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kvadrātsakne no perfektiem skaitļu kvadrātiem (1, 4, 9, 16, utt.) ir veseli skaitļi. Visos citos gadījumos kvadrātsakne no pozitīviem, veseliem skaitļiem ir iracionāli skaitļi, tādēļ to decimālais attēlojums ir neperiodisks decimālais skaitlis. 

1
1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462 1 miljons zīmju, 2 miljoni zīmju, 5 miljoni zīmju, 10 miljoni zīmju
1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909 1 miljons zīmju
2
2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638 1 miljons zīmju
2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457 1 miljons zīmju
2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230 1 miljons zīmju
2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924 1 miljons zīmju
3
3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639 1 miljons zīmju
3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
4
4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

Kvadrātsakni var pierakstīt arī kā reizinājumu, piemēram:

Kā periodiski nepārtraukti daļskaitļi.[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vienu no viss interesantākajiem atklājumiem pētījumā par iracionāliem skaitļiemnepārtrauktiem daļskaitļiem veica Žozefs Lagranžs 1780. gadā. Lagranžš ievēroja, ka kvadrātsakne no pozitīviem veseliem skaitļiem ir periodisks nepārtrauktu daļskaitļu attēlojums. Tas ir, parciālie dalītāji atkārtojās bezgalīgi noteiktā veidā. Savā ziņā šīs kvadrātsaknes ir paši vienkāršākie iracionālie skaitļi, jo tie var tikt attēloti ar vienkāršu, periodisku veidu.

= [1; 2, 2, ...]
= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
= [2]
= [2; 4, 4, ...]
= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
= [3]
= [3; 6, 6, ...]
= [3; 3, 6, 3, 6, ...]
= [3; 2, 6, 2, 6, ...]
= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...]
= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...]
= [3; 1, 6, 1, 6, ...]
= [4]
= [4; 8, 8, ...]
= [4; 4, 8, 4, 8, ...]
= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...]
= [4; 2, 8, 2, 8, ...]

Kvadrātiekavas augstāk redzamajā pierakstā ir sava veida matemātiskais pieraksts, kurš tika ieviests, lai tiktu ietaupīta vieta. Tradicionālākā pierakstā nepārtraukts daļskaitlis, piemēram kvadrātsakne no 11, [3,3,6,3,6…] tiek attēlota kā:

kur divu skaitļu {3,6} raksts turpinās atkal un atkal parciālajos dalītājos. Tā kā , augstāk redzamais ir identisks: 

Kvadrātsaknes ģeometriskā konstruēšana[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Teodora spirāle

Kvadrātsakne no pozitīva skaitļa tiek interpretēta kā kvadrāta mala, kura laukums ir vienāds ar doto skaitli. Bet kvadrāta forma nav obligāta: ja vienam no diviem līdzīgiem planāriem Eiklīda objektiem laukums ir a reizes lielāks kā otram, tad attiecība starp to lineārajiem lielumiem joprojām būs .

Kvadrātsakni ir iespējas konstruēt, izmantojot kompasu un lineālu. Savā grāmatā Elementi Eiklīds aprakstīja, kā konstruēt divu lielumu ģeometrisko vidējo divos veidos: Piedāvājums II.14 un Piedāvājums VI.13. Tā kā a un b ģeometriskais vidējais ir , tad var viegli konstruēt, ņemot b = 1.

Eiklīda 2. pierādījums 4. grāmatā pamatojas uz teorēmu par līdzīgiem trijstūriem. Pieņem, ka AHB ir līnija ar garumu a + b, ka a = AH un b = HB. Konstruē riņķa līniju ar diametru AB un novelk perpendikulu pret AB no punkta H. Punkts C ir, kur perpendikuls krusto riņķa līniju. Pieņem, ka HC = h. Pamatojoties uz Tallesa teorēmu un Pitagora pierādījumu, izmantojot līdzīgu trijstūrus, trijstūris AHC ir līdzīgs trijstūrim CHB, no tā AH:CH un HC:HB, tas ir , no tā . Pieņemot AH kā vienības nogriezni (a = 1), . Tātad nogriežņa HC garums ir kvadrātsakne no nogreižņa HB garuma, un ir uzkonstruēta kvadrātsakne.

Vēl viena metode, kā ģeometriski konstruēt kvadrātsakni, ir izmantojot taisnleņķa trījstūri un matemātisko indukciju: , protams, var konstruēt, un, kad ir uzkonstruēts, taisnleņķa trīsstūra katetes būs 1 un , bet hipotenūza . Teodora spirāle tiek konstruēta, atkārtoti konstruējot taisnleņķa trīsstūrus.

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Gelfand, 120.lpp
  2. Dennis G. Zill, Patrick Shanahan. A First Course in Complex Analysis With Applications (2. izd.). Jones & Bartlett Learning, 2008. 78. lpp. ISBN 0-7637-5772-1.
  3. «Analysis of YBC 7289». Skatīts: 03.12.2017..
  4. Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
  5. Joseph, ch.8.
  6. Sir Thomas L. Heath. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press, 1908. 3.. lpp.
  7. Dauben (2007), 210.lpp.
  8. «The Development of Algebra - 2». Skatīts: 03.12.2017..
  9. Oaks, Jeffrey A. (2012.), Algebraic Symbolism in Medieval Arabic Algebr (PDF) (Thesis). Philosophia. 36.lpp.
  10. Alberto Manguel. The Life of Numbers, 2006. ISBN 84-86882-14-1.
  11. David F. Parkhurst. Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science. Springer, 2006. 241.. lpp. ISBN 9780387342283.
  12. Anita E. Solow. Learning by Discovery: A Lab Manual for Calculus. Cambridge University Press, 1993. 48.. lpp. ISBN 9780883850831.
  13. Mike Aitken, Bill Broadhurst, Stephen Hladky. Mathematics for Biological Scientists. Garland Science, 2009. 41. lpp. ISBN 978-1-136-84393-8.
  14. Sir Thomas L. Heath. A History of Greek Mathematics, Vol. 2. Clarendon Press, 1921. 323–324. lpp.
  15. Jean-Mic Muller. Elementary functions: algorithms and implementation. Springer, 2006. 92–93. lpp. ISBN 0-8176-4372-9. 5. nodaļa, 92.lpp.
  16. The C++ Resources Network. «Function sqrt». Skatīts: 2016. gada 24. jūnijs.
  17. Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications, 1964. 17. lpp. ISBN 0-486-61272-4. 3.7.21. sekcija, 17.lpp.
  18. Roger Cooke. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons, 2008. 59. lpp. ISBN 0-470-25952-3.
  19. Mitchell, Douglas W., "Using Pythagorean triples to generate square roots of I2", Mathematical Gazette 87, November 2003, 499.–500.lpp

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]