Marija Sofija Žermēna

Vikipēdijas lapa
(Pāradresēts no Marija-Sofija Džermane)
Jump to navigation Jump to search
Marija Sofija Žermēna
Marie-Sophie Germain
Marija Sofija Žermēna
Marija Sofija Žermēna
Personīgā informācija
Dzimusi 1776. gada 1. aprīlī
Valsts karogs: Francija Parīze, Francija
Mirusi 1831. gada 27. jūnijā (55 gadi)
Valsts karogs: Francija Parīze, Francija
Tautība franču
Zinātniskā darbība
Zinātne matemātika, fizika, filozofija
Pasniedzēji Kārlis Frīdrihs Gauss (vēstuļu apmaiņas formā)
Sasniegumi, atklājumi darbi elastības teorijā un skaitļu teorijā (Sofijas Žermēnas skaitļi)

Marija Sofija Žermēna (franču: Marie-Sophie Germain, dzimusi 1776. gada 1. aprīlī, mirusi 1831. gada 27. jūnijā) bija franču matemātiķe, fiziķe un filozofe. Neskatoties uz sākotnējiem vecāku iebildumiem un sabiedrības izvirzītajiem standartiem, Sofija ieguva izglītību no tēva bibliotēkā esošajām grāmatām, ieskaitot Leonarda Eilera grāmatas, kā arī mācījas no tādiem slaveniem matemātiķiem kā, piemēram, Lagranža un Gausa. Marija Sofija bija viena no elastības teorijas aizsācējām. Ieguva Parīzes Zinātņu akadēmijas galveno balvu par eseju, ko rakstīja saistībā ar elastības teoriju. Viņa aizsāka pētījumus pie Fermā pēdējās teorēmas, ko matemātiķi turpināja pētīt vēl simtiem gadus vēlāk.[1] Sakarā ar aizspriedumiem pret dzimumu viņa nespēja veidot karjeru kā matemātiķe, bet visu mūžu strādāja patstāvīgi.[2] Pirms Marijas Sofijas nāves Gauss bija ieteicis viņai piešķirt goda grādu, taču tas nekad tā arī nenotika.[3] 1831. gada 27. jūnijā viņa nomira ar krūts vēzi. Viņas dzīves simtgadē viņas vārdā tika nosaukta iela un meiteņu skola. Zinātņu akadēmija par godu viņai nodibināja Sofijas Žermēnas balvu.

Agrīnā dzīve[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ģimene[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Marija Sofija Žermēna dzimusi 1776. gada 1. aprīlī Parīzē, Francijā, mājās Sendenī ielā. Saskaņā ar vairumu avotu viņas tēvs bija turīgs zīda tirgotājs,[4] lai gan daži uzskata, ka viņš bija zeltkalis.[5] 1789. gadā viņu ievēlēja par buržuāzijas pārstāvi Ģenerālštatā, tāpēc tiek pieņemts, ka Sofija bija lieciniece daudzām tēva un viņa draugu diskusijām par politiku un filozofiju. Ir versijas, ka pēc savas politiskās karjeras Sofijas tēvs kļuva par bankas direktoru. Vismaz ģimene palika pietiekami turīga, lai atbalstītu Sofiju visas viņas dzīves laikā.[5]

Marijai-Sofijai bija jaunākā māsa Andželika, un vecākā māsa Marija Medelēna. Viņas māti arī sauca Marija Madelēna, un tas, iespējams, bija iemesls, kāpēc viņu nosauca par Mariju Sofiju. Žermēnas māsas dēls, pēc viņas nāves publicēja dažus no Sofijas darbiem.

Ievads matemātikā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kad Žermēnai bija 13 gadi, pilsētā valdīja revolucionārā gaisotne, kas lika meitenei pavadīt daudz laika mājās. Izklaidi viņa meklēja tēva bibliotēkā.[6] Tieši tur viņa atrada grāmatu par matemātikas vēsturi, kurā izlasīja sāstu par Arhimēda nāvi un tā viņu ieintriģēja.

Sofija domāja, ka, ja ģeometrijas metode, kas tajā laikā atsaucās uz matemātiku,[7] varēja pievērst tādu aizraušanos Arhimēdam, tad tā bija izpētes vērta.[8] Tā viņa izpētīja katru grāmatu par matemātiku tēva bibliotēkā.[6] Meitene pat patstāvīgi iemācījās latīņu un grieķu valodu, lai viņa varētu lasīt arī Īzaka Ņūtona un Leonarda Eilera darbus.

Žermēnas vecāki nebija priecīgi par meitas pēkšņo aizraušanos ar matemātiku, kas toreiz tika uzskatīta par nepiemērotu sievietei. Nakts laikā vecāki viņai atņēma siltas drēbes un iespējamos gaismas avotus guļamistabai, lai mēģinātu atturēt viņu no mācībām, taču pēc vecāku aiziešanas Sofija izņēma sveces, ietinās segās un mācījās matemātiku.[7] Kā viena no ģimenes draudzenēm apraksta — kad vecāki atrada Mariju Sofiju no rīta aizmigušu pie viņas galda ar sasalušu tinti un pilnu galdu ar aprēķiniem, viņi saprata, ka viņu meita ir nopietna un ar stingru raksturu.[6] Pēc kāda laika māte viņu pat slepeni atbalstīja.[7]

École Polytechnique[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ieeja vēsturiskajā ēkā École Polytechnique

1794. gadā, kad Žermēnai bija 18 gadi, Parīzē tika atvērta Politehniskā skola, kurā varēja iegūt augstāko izglītību — École Polytechnique. Žermēnai kā sievietei bija liegts apmeklēt lekcijas, bet jaunā izglītības sistēma padarīja "lekciju pierakstus pieejamus visiem, kas jautāja".[7] Jaunā metode arī prasīja studentiem "iesniegt rakstiskus novērojumus".[5] Žermēna ieguva lekciju piezīmes un sāka sūtīt savus darbus mācībspēkam Žozefam Lagranžam. Viņa izmantoja kāda bijušā studenta vārdu, baidoties tikt izsmieta kā sieviete zinātniece.[9] Kad Lagranžs ieraudzīja inteliģentos darbus, viņš pieprasīja tikšanos, un Sofija bija spiesta atklāt savu patieso identitāti. Par laimi Lagranžs neiebilda, ka Žermēna bija sieviete,[7] un viņš kļuva par viņas mentoru.[10] Lagranžs apmeklēja viņu mājās, sniedzot morālu atbalstu.[6]

Agrīnais darbs skaitļu teorijā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Korespondence ar Ležāndru[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Žermēna sāka interesēties par skaitļu teoriju 1798. gadā, kad Adriēns Ležāndrs publicēja savu darbu par skaitļu teoriju (franču: Essai sur la théorie des nombres).[4] Kad viņa bija izpētījusi Ležāndra darbu, viņa sāka sūtīt viņam vēstules diskusijai par skaitļu teoriju. Vēlāk arī diskutēja par elastības teoriju. Ležāndrs aprakstīja dažus no Žermēnas darbiem arī savā otrājā darba izdevumā (franču: Théorie des Nombres), kur viņš tos sauc par ļoti ģeniāliem.

Korespondence ar Gausu[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Karls Frīdrihs Gauss

Žermēnas interese par skaitļu teoriju pastiprinājās, lasot Frīdriha Gausa aritmētikas darbu (latīņu: Disquisitiones Arithmeticae).[4] Pēc trīs gadu mēģinājumiem, strādājot ar dažādiem uzdevumiem, lai spētu atrast pati savus pierādījumus dažādām teorēmām, viņa atkal rakstīja vēstuli ar pseidonīmu M. Le Blanc darba autoram - Gausam, kurš bija vienu gads jaunāks par viņu.[11] Pirmajā vēstulē, kas datēta ar 1804. gada 21. novembri,[5] viņa raksta par Gausa darbu un iepazīstina ar dažiem saviem darbiem pie Fermā pēdējās teorēmas.

Ap 1807. gadu Napoleona karu laikā franči okupēja Vācijas pilsētu Braunšveigu, kur dzīvoja Gauss.[12] Žermēna bija nobažījusies, ka viņš varētu ciest Arhimēda likteni un rakstīja ģimenes draugam ģenerālim Pernetijam, lūdzot nodrošināt Gausa drošību.[7] Ģenerālis Pernetijs nosūtīja bataljona vadītāju personīgi tikties ar Gausu, lai pārliecinātos, ka viņš ir drošībā.[12] Kā izrādījās, Gausam viss bija kārtībā,[6] bet viņu samulsināja Sofijas vārda pieminēšana.[12]

Trīs mēnešus pēc incidenta Žermēna atklāja Gausam savu patieso identitāti. [13] Viņš atbildēja:[14]

"Kā es varu aprakstīt savu izbrīnu un apbrīnu, redzot, ka mans cienītais korespondents M. Le Blanc tiek metamorfoģēts uz šo slaveno cilvēku ... Kad sieviete, sava dzimuma, mūsu paražu un aizspriedumu dēļ saskaras ar vairāk šķēršļu nekā vīrieši, lai iepazīstoties patstāvīgi ar skaitļu teorijas mezglainajām problēmām, tomēr pārvar šīs grūtības, viņai, bez šaubām, ir viscilvēcīgākā drosme un neparasts talants. Viņa ir izcilākais ģēnijs."

Lai arī Gauss bija labās domās par Žermēnu, viņa atbildes uz viņas vēstulēm bieži kavējās, un parasti viņš nepārskatīja viņas darbus.[1] Galu galā viņa intereses novērsās no skaitļu teorijas, un 1809. gadā viņu sarakste beidzās.[1] Neskatoties uz Žermēnas un Gausa draudzību, viņi nekad nav tikušies.[7]

Darbs elastības teorijā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Žermēnas pirmais mēģinājums iegūt Akadēmijas balvu[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ernsts Florens Frīdrihs Hladni

Kad Žermēnas sarakste ar Gausu pārtrūka, viņa sāka interesēties par Parīzes Zinātņu Akadēmijas sponsorēto konkursu par Ernsta Hladni eksperimentiem ar vibrējošām metāla plāksnēm.[6] Kā norāda Akadēmija, konkursa mērķis bija "sniegt matemātisko teoriju par elastīgās virsmas vibrācijām un salīdzināt teoriju ar eksperimentāliem pierādījumiem". Lagranža komentārs, ka problēmas risinājumam būs nepieciešama jaunas matemātiskās analīzes nozares izgudrošana, atturēja visus konkursa dalībniekus, izņemot Simeonu Deni Puasonu un Mariju-Sofiju Žermēnu. Vēlāk Simeonu Deni Puasonu ievēlēja Akadēmijā. Tādējādi, viņam kļūstot par tiesnesi, nevis par konkursa dalībnieku,[15] Žermēna palika vienīgā dalībniece konkursā.[16]

1809. gadā Žermēna sāka darbu. Ležāndrs palīdzēja viņai ar vienādojumiem, atsaucēm un pašreizējiem pētījumiem.[17] Viņa iesniedza savu darbu 1811. gada rudenī, bet balvu neieguva. Tiesnešu komisija uzskatīja, ka "patiesie kustības vienādojumi netika noteikti", kaut arī "eksperimenti sniedza ģeniālus rezultātus".[17] Lagranžs varēja izmantot Žermēnas darbu, lai iegūtu vienādojumu, kas "ir pareizs pie īpašiem nosacījumiem".[5]

Turpmākie mēģinājumi iegūt balvu[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Konkurss tika pagarināts par diviem gadiem, un Žermēna nolēma mēģināt vēlreiz iegūt balvu. Sākumā Ležāndrs turpināja piedāvāt atbalstu, bet vēlāk viņš atteicās palīdzēt.[17] Žermēnas anonīmais[5] 1813. gada iesniegums joprojām bija ar matemātiskām kļūdām, īpaši attiecībā uz divkāršajiem integrāļiem,[7] un tas saņēma tikai godpilnu pieminēšanu, jo "teorijas elastīgo virsmu pamatprincips nebija izveidots".[17] Konkurss tika vēlreiz pagarināts, un Žermēna sāka darbu pie sava trešā mēģinājuma. Šoreiz viņa konsultējās ar Simeonu Deni Puasonu.[5] 1814. gadā viņš publicēja savu darbu par elastību un neatzina Žermēnas palīdzību (lai gan viņš bija strādājis kopā ar viņu pie šīs tēmas un kā tiesnesis Akadēmijas komisijā bija piekļuvis viņas darbam).[7]

Žermēnas iesniedza savu trešo darbu franču: Recherches sur la théorie des surfaces élastiques,[5] ar savu vārdu, un 1816. gada 8. janvārī [7] viņa kļuva par pirmo sievieti, kas ieguva balvu no Parīzes Zinātņu akadēmijas.[17] Viņa neieradās ceremonijā, lai saņemtu savu balvu.[5][17][5] Lai arī beidzot Žermēnai balva tika piešķirta,[1] Akadēmija joprojām nebija pilnībā apmierināta.[8] Sofija bija atvasinājusi pareizo diferenciālvienādojumu,[18] taču viņas metode nevarēja paredzēt eksperimentālo rezultātu ar lielu precizitāti, jo viņa bija paļāvusies uz nepareizu Eilera vienādojumu,[5] kas noveda pie nepareiziem robežnosacījumiem.[18] Šeit ir Žermēnas galīgais vienādojums plaknes slāņa vibrācijai:

kur N 2 ir konstante.[5] [19] [20]

Pēc uzvaras Akadēmijas konkursā viņa joprojām nevarēja apmeklēt tās sesijas, jo Akadēmijas tradīcija bija izslēgt sievietes, kas nav locekļu sievas. Pēc septiņiem gadiem šī situācija mainījāsa, kad viņa sadraudzējās ar Žozefu Furjē, Akadēmijas sekretāru, kurš viņai iegādājās biļetes uz sesijām.[17]

Vēlākais darbs elastības teorijā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

franču: Récherches sur la théorie des surfaces élastiques , 1821. gads

Žermēna 1821. gadā par saviem līdzekļiem publicēja balvu ieguvušo eseju, galvenokārt tāpēc, ka viņa gribēja savu darbu pasniegt pretstatā Simeona Deni Puasona darbam. Esejā viņa norādīja uz dažām kļūdām savā metodē.[5]

1826. gadā viņa iesniedza Akadēmijai uzlabotas 1821. gada esejas versiju pārskatīšanai. Tas nostādīja Akadēmiju neērtā situācijā, jo viņi uzskatīja, ka raksts ir "neatbilstošs un triviāls", taču viņi nevēlējās izturēties pret viņu kā pret profesionālu kolēģi, kā pret jebkuru citu kolēģi vīrieti, vienkārši noraidot viņas darbu. Ogistēns Košī, kurš pārskatīja viņas darbu, ieteica viņai to publicēt, un viņa klausīja viņa padomam.[21]

Vēlākais darbs skaitļu teorijā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atkārtota interese[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Žermēnas labākais darbs bija skaitļu teorijā, strādājot pie Fermā pēdējās teorēmas. Pēc elastības konkursa 1815. gadā Akadēmija piedāvāja balvu par Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu. Tas atjaunoja Žermēnas interesi par skaitļu teoriju, un viņa pēc desmit gadus ilga pārtraukuma atkal rakstīja Gausam.

Vēstulē Žermēna rakstīja, ka skaitļu teorija ir viņas vēlamā joma un, ka viņa par to visu laiku domājusi, pētot elastību.[1] Viņa ieskicēja stratēģiju Fermā pēdējās teorēmas vispārīgam pierādījumam, iekļaujot pierādījumu īpašam gadījumam.[1] Žermēnas vēstule Gausam ietvēra viņas būtisko progresu pierādījuma iegūšanā. Viņa vaicāja Gausam, vai ir vērts turpināt viņas pieeju teorēmai. Gauss tā arī nekad neatbildēja.

Darbs pie Fermā pēdējās teorēmas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Fermā pēdējo teorēmu var iedalīt divos gadījumos.

1. gadījums ietver visus p, kas nesadala nevienu no x, y vai z.

2. gadījums ietver visus p, kas sadala vismaz vienu no x, y vai z.

Pieņem, ka p ir nepāra galvenais loceklis. Ja eksistē papildus galvenais loceklis P = 2Np + 1 (N ir jebkurš pozitīvs vesels skaitlis, kas nedalās ar 3), tad:

  1. Ja xp + yp + zp ≡ 0 (mod P), tad P dalās ar xyz, un

p nav p-tās jaudas atlikums (mod P).

Tad pirmais Fermā pēdējās teorēmas gadījums satur pareizas p vērtības.

Žermēna izmantoja šo rezultātu, lai pierādītu Fermā pēdējās teorēmas pirmo gadījumu visiem nepāra p <100, bet, pēc Andrea Del Centina teiktā, "viņa patiesībā bija parādījusi, ka tā pieder katram eksponentam p <197". L. E. Diksons vēlāk izmantoja Žermēnas teorēmu, lai pierādītu Fermā pēdējo teorēmu nepāra locekļiem, kas mazāki par 1700.

Nepublicētā manuskriptā (Remarque sur l'impossibilité de activaire en nombres entners a l'ququation) xp + yp = zp Žermēna parādīja, ka visiem Fermā teorēmas pretparaugiem

p> 5 jābūt skaitļiem, "kuru izmērs biedē iztēli", ap 40 cipari gariem. Sofija šo darbu nepublicēja. Viņas izcilā teorēma ir zināma tikai Ležāndra traktāta par skaitļu teoriju zemsvītras piezīmes dēļ, kur viņš to izmantoja, lai pierādītu Fermā pēdējās teorēmas vērtību p = 5. Žermēna arī pierādīja vai gandrīz pierādīja vairākus rezultātus, kas tika piedēvēti Lagranžam vai tika atkārtoti atklāti gadus vēlāk. Del Centina rakstījusi, ka "pēc gandrīz divsimt gadiem viņas idejas joprojām bija nozīmīgas", taču galu galā viņas metode nedarbojās.

Darbs filozofijā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Papildus matemātikai Žermēna studēja filozofiju un psiholoģiju.[22] Viņa vēlējās klasificēt faktus un tos vispārināt likumos, kas varētu veidot psiholoģijas un socioloģijas sistēmu, kura tajā laikā tikai sāka veidoties. Viņas filozofiju ļoti atzinīgi novērtēja Ogists Konts.[23]

Divi no viņas filozofiskajiem darbiem Pensées diverses un Considérations générales sur l'état des sciences et des lettres, aux différentes époques de leur culture, tika publicēti pēc nāves. Daļēji tas bija saistīts ar viņas māsas dēla centieniem, kas savāca viņas filozofiskos rakstus un tos publicēja.

Pēdējie gadi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

1829. gadā Žermēna uzzināja, ka viņai ir krūts vēzis. Neskatoties uz sāpēm,[4] viņa turpināja strādāt. 1831. gadā viņa žurnālā publicēja savu darbu par elastīgo virsmu izliekumu un piezīmi par y un z atrašanu ".[5]

Neskatoties uz Žermēnas intelektuālajiem sasniegumiem, viņas miršanas apliecībā viņa minēta kā īpašuma īpašniece. Bet viņas darbu visi nenovērtēja. Kad 1837. gadā Getingenes Universitātē - sešus gadus pēc Žermēnas nāves - tika skatīts jautājums par goda grādiem, Gauss teica: "Viņa [Žermēna] pasaulei pierādīja, ka pat sieviete var paveikt kaut ko vērtīgu visstingrākajā un abstraktākajā pasaulē. Zinātnes un šī iemesla dēļ viņa būtu pelnījusi goda grādu". Grādu viņai nepiešķīra.

Pagodinājumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Piemiņas vietas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Sofijas Žermēnas kapa vieta Perlašēza kapsētā

Žermēnas kapa vietā Parīzes Perlašēza kapsētā uzstādīts kapakmens.[24][25] Viņas dzīves simtgades svinībās viņai par godu tika nosaukta iela un meiteņu skola, un pie mājas, kurā viņa nomira, tika novietota piemiņas plāksne. Skolā atrodas krūšutēls, kuru pasūtījusi Parīzes dome.[25]

Apbalvojumi skaitļu teorijā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

"Žermēnas izliekums" (ko sauc arī par vidējo izliekumu) ir ,[9] kur k1 un k2 ir parastā izliekuma maksimālās un minimālās vērtības.[5]

"Sofijas Žermēnas identitāte" norāda, ka jebkuram {x, y }

Žermēna popkultūrā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Žermēna tika minēta un citēta Deivida Oburna 2001. gada lugā Proof. Galvenā varone ir jauna sieviešu cīnītāja matemātiķe Katrīna, kura guva lielu iedvesmu Žermēnas darbā. Žermēna tika pieminēta arī Džona Madena tāda paša nosaukuma filmas adaptācijā sarunā starp Katrīnu (Gvineta Paltrova) un Halu (Džeiks Jillenhols).

Artūra Klārka un Frederika Pola darbā "Pēdējā teorēma" Sofija Žermēna bija centrālā varoņa Ranjita Subramaniana iedvesma, lai atrisinātu Fermā pēdējo teorēmu.

Jauns mūzikls par Sofijas Žermēnas dzīvi ar nosaukumu "The Limit" pirmizrādi piedzīvoja VAULT festivālā Londonā 2019. gadā.

Sofijas Žermēnas balva[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Zinātņu Akadēmijā Parīzē katru gadu piešķir Sofijas Žermēnas balvu (franču: Prix Sophie Germain) ceremonijā, ko rīko Sofijas Žermēnas fonds. Tās mērķis ir pagodināt franču matemātiķus par fundamentāliem pētījumiem matemātikā. Šī balva 8000 euro apmērā tika izveidota 2003. gadā Franču institūta aizgādībā.[26]

Citāti[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Del Centina, 2008
  2. Case, Leggett
  3. Mackinnon, Nick (1990). "Sophie Germain, or, Was Gauss a feminist?". The Mathematical Gazette 74 (470): 346–351, esp. p. 347.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 Del Centina, 2005
  5. 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,10 5,11 5,12 5,13 5,14 Gray, 2005
  6. 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 Osen, 1974
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 Gray, 1978
  8. 8,0 8,1 Ogilvie, 1990
  9. 9,0 9,1 Mackinnon, 1990
  10. Moncrief, 2002
  11. Sampson, 1990
  12. 12,0 12,1 12,2 Dunnington, 1955
  13. Mackinnon, 1990, 348. lpp.
  14. Mackinnon, 1990, 349. lpp.
  15. Petrovich, 1999, 384. lpp.
  16. Gray, 1978, 52. lpp.
  17. 17,0 17,1 17,2 17,3 17,4 17,5 17,6 Petrovich, 1999
  18. 18,0 18,1 Ullmann, 2007
  19. Isaac Todhunter. A History of the Theory of Elasticity and of the Strength of Materials: Volume 1. Cambridge University Press, 2014. 153. lpp. ISBN 978-1108070423.
  20. This is equation (B) in Germain's own book.Sophie Germain. Recherches sur la théorie des surfaces élastiques, 1821. 27. lpp.
  21. Del Centina, 2005, sec. 4
  22. Gray, 1978, 48. lpp.
  23. Gray, 2005, 73. lpp.
  24. Gray, 1978, 49. lpp.
  25. 25,0 25,1 Gray, 2005, 68. lpp.
  26. «Prix Sophie Germain – Fondation de l'Institut de France». Institut de France – Académie des sciences. Arhivēts no oriģināla, laiks: 2014. gada 29. novembrī. Skatīts: 2014. gada 20. jūlijs.


Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]