Fibonači skaitļi

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Matemātikā par Fibonači skaitļiem sauc virknes

 1, \; 1, \; 2, \; 3, \; 5, \; 8, \; 13, \; 21, \; 34, \; 55, \; \ldots \,

elementus. Tās pirmie divi locekļi ir vienādi ar 1, bet katru nākamo locekli iegūst saskaitot divus iepriekšējos. Dažreiz par pirmajiem diviem virknes elementiem izvēlas skaitļus 0 un 1. Šādi iegūtā virkne atšķiras tikai ar to, ka tā sākas ar nulli: 0, 1, 1, 2, 3, 5, ….

Parasti n-to Fibonači skaitli apzīmē ar f_n vai F_n.

Definīcija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Formāli par Fibonači skaitļiem sauc rekurenta vienādojuma

f_n = f_{n-1} + f_{n-2}

atrisinājumu pie sākuma nosacījumiem

 f_1 = f_2 = 1. \,

To var pierakstīt arī šādi:


  f_n =
  \begin{cases}
    1,                 & \text{ ja } n = 1 \text{ vai } n = 2; \\
    f_{n-1} + f_{n-2}, & \text{ ja } n > 2.
  \end{cases}

Fibonači virkni var turpināt arī pretējā virzienā, tas ir, aprēķināt fn, kur n ≤ 0. Piemēram, f0 = 0, jo 0 + 1 = 1 (f0 + f1 = f2). Līdzīgi, f−1 = 1, jo 1 + 0 = 1 (f−1 + f0 = f1). Lai atrastu vispārīgu virknes locekli ar negatīvu kārtas numuru, Fibonači skaitļus definējošo sakarību pārraksta šādi: fn−2 = fnfn−1. Tādējādi iegūst virkni, kas ir bezgalīga abos virzienos:

n −10 −9  −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1   0   1   2   3   4   5   6   7   8   9 10
fn −55 34 −21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Nav grūti ievērot, ka fn un fn sakrīt, ja n ir nepāra skaitlis, bet atšķiras ar zīmi, ja n ir pāra. Formāli to var pierakstīt šādi:

 f_{-n} = (-1)^{n+1} f_n. \,

Binē formula[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lai aprēķinātu n-to Fibonači skaitli fn, nav nepieciešams aprēķināt visus iepriekšējos Fibonači skaitļus. To var iegūt uzreiz ar Binē formulas palīdzību:

 f_n = \frac{(1 + \sqrt{5})^n - (1 - \sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}}.

Binē formulu var pārrakstīt arī šādi:

 f_n = \frac{\varphi^n - \bar{\varphi}^n}{\sqrt{5}},

kur


\begin{alignat}{3}
       \varphi  &= \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx & 1&{,}6180339887, \\
  \bar{\varphi} &= \tfrac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx &-0&{,}6180339887 = 1 - \varphi,
\end{alignat}

ir polinoma x2 = x + 1 saknes un \varphi\, ir zelta griezums.

Binē formula nosaukta par godu Žakam Binē, kurš to ieguva 1843. gadā, lai gan tā bijusi zināma jau Eileram, Bernulli un Muavram vairāk nekā gadsimtu agrāk.[1]

Fibonači skaitļu īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Divu secīgu Fibonači skaitļu attiecība (lielākajam pret mazāko) ir tuva zelta griezumam 1,618… un ir tā labākie tuvinājumi. Piemēram, 8 / 5 = 1,6 un 13 / 8 = 1,625. Šīs attiecības kļūst pēc patikas tuva zelta griezumam, izvēloties pietiekoši lielus Fibonači skaitļus. Matemātikā šādu situāciju raksturo ar robežas palīdzību:

 \lim_{n \to \infty} \frac{f_{n+1}}{f_n} = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Jebkuri divi secīgi Fibonači skaitļi ir savstarpēji pirmskaitļi:

 \operatorname{LKD}(f_n, f_{n+1}) = 1,

kur "LKD" apzīmē lielāko kopīgo dalītāju.

Dažas formulas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Fibonači skaitļiem ir spēkā dažādas sakarības. Šeit minēsim dažas no tām:

 f_n f_{n+2} - f_{n+1} = (-1)^{n+1}\,
f_1 + f_2 + ... + f_n = f_{n+2} - 1\,
\sum_{i=1}^n {f_i}^2 = f_{n} f_{n+1}.

Fibonači spirāle[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kvadrāti, kuru malu garumi atbilst secīgiem Fibonači virknes locekļiem.
Fibonači spirāle sastāv no riņķa līnijas lokiem, kas ievilkti kvadrātos, kuru malu garumi atbilst secīgiem Fibonači virknes locekļiem.

Ar kvadrātiem, kuru malu garumi atbilst Fibonači virknes locekļiem fn, kur n = 1, 2, 3, …, var pilnībā noklāt plakni, ja tos izvieto spirāles veidā (skatīt attēlu). Veidojot šo izkārtojumu, kvadrāts ar kārtas numuru n tiek novietots tā, lai tam būtu kopīga mala ar kvadrātiem, kuru kārtas numuri ir n−1, n−3 un n−4. Izmantojot Fibonači skaitļu definīciju, ir viegli pārliecināties, ka minētie kvadrāti sader kopā, jo


\begin{align}
  f_n &= f_{n-1} + f_{n-2} \\
      &= f_{n-1} + f_{n-3} + f_{n-4}.
\end{align}

Piemēram, ja n = 6, iegūstam f6 = f5 + f3 + f2 jeb 8 = 5 + 2 + 1.

Ja katrā no kvadrātiem ievelk 1/4 no riņķa līnijas, kuras rādiuss sakrīt ar kvadrāta malas garumu un kuras centrs atrodas attiecīgajā kvadrāta virsotnē, iegūst Fibonači spirāli (skatīt attēlu). Šī spirāle ir ļoti līdzīga logaritmiskajai spirālei, kas pazīstama ar nosaukumu zelta spirāle. Fibonači spirāle nedaudz atšķiras no zelta spirāles, jo secīgu Fibonači skaitļu attiecība tikai aptuveni sakrīt ar zelta griezumu.

Fibonači skaitļi ārpus matemātikas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Dabā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Secīgu Fibonači skaitļu pāri vai pat trīs secīgi Fibonači skaitļi nereti ir novērojami dabā. Zinātnieki ir izveidojuši matemātiskus modeļus, ar kuru palīdzību tiek mēģināts izskaidrot Fibonači skaitļu parādīšanos dabā.[2][3][4] Tiesa, dažreiz apgalvojumi par zelta griezuma un Fibonači skaitļu parādīšanos dabā ir pārsteidzīgi.[5] Piemēram, nereti tiek apgalvots, ka secīgu falangu (pirksta kaulu) garumu attiecība cilvēka plaukstā atbilst zelta griezumam vai secīgiem Fibonači skaitļiem.[6][7] Pirmais šādu apgalvojumu 1973. gadā izteicis roku ķirurģijas speciālists Viljams Litlers (William Littler).[8] Vēlākos pētījumos gan šis apgalvojums nav apstiprinājies.[9][10][11]

Secīgu Fibonači skaitļu pāri (spirāļu skaits)[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Spirāļu skaits čiekuram.

Fibonači skaitļi ļoti bieži ir novērojami dažādu dabā sastopamu spirāļu parametros. Šādas spirāles ir redzamas, piemēram, čiekuriem, saulespuķēm un ananāsiem, un tās sauc par Fermā spirālēm (nejaukt ar Fibonači spirāli).[12] Parasti šo spirāļu skaits pulksteņa rādītāja kustības virzienā un pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam atbilst diviem secīgiem Fibonači skaitļiem.[13] Šīs parādības izskaidrošanai zinātnieki ir izveidojuši matemātiskus modeļus.[2][3][4]

Laboratorijas apstākļos līdzīgas spirāles ir novērotas arī mikrostruktūrām, kas izgatavotas no neorganiskiem materiāliem. Atdzesējot koniskas formas substrātu, uz kura uzklātas silīcija monoksīda (SiO) un sudraba oksīda (Ag2O) kārtiņas, uz tā izveidojas izciļņi.[14] Eksperimentos noskaidrots, ka minimālās enerģijas konfigurācijai atbilst spirālveida izciļņu izvietojums, pie kam spirāļu skaits pulksteņa rādītāja kustības virzienā un pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam atbilst diviem secīgiem Fibonači skaitļiem — eksperimentos novērotie Fibonači skaitļu pāri ir (5, 8), (8, 13) un (13, 21).[15]

Eonija
Eonija (8 spirāles)

8 spirāles vienā virzienā

Eonija (13 spirāles)

13 spirāles otrā virzienā

Kaktuss
Kaktuss (8 spirāles)

8 spirāles vienā virzienā

Kaktuss (13 spirāles)

13 spirāles otrā virzienā

Trīs secīgi Fibonači skaitļi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lapu novietojums uz stumbra[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lapu novietojums uz auga stumbra bieži vien arī ir saistīts ar Fibonači skaitļiem. Lai šo saistību pārbaudītu, uz auga stumbra ir jāizvēlas divas lapas, kas atrodas tieši viena virs otras. Tad šādi trīs lielumi parasti atbilst trim secīgiem Fibonači skaitļiem:[16]

  • pilnu apgriezienu skaits, kas jāveic, lai nokļūtu no vienas izvēlētās lapas uz otru, ejot pulksteņa rādītāja kustības virzienā,
  • pilnu apgriezienu skaits no vienas lapas līdz otrai, ejot pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam,
  • kopējais lapu skaits attiecīgajā posmā, ieskaitot vienu no izvēlētajām lapām.

Līdzīga īpašība ir novērota arī eksperimentāli ar tā saucamā "magnētiskā kaktusa" palīdzību.[17]

Ananasa spirāles[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Trīs secīgus Fibonači skaitļus parasti iegūst arī, skaitot trīs dažādos virzienos esošo spirāļu skaitu ananasam.[2][12]

Mākslā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

"Fibonači skurstenis" Turku, Somijā.

Itāļu mākslinieks Mario Merz 1994. gadā uz skursteņa Turku, Somijā izvietoja neona spuldzes, kas attēlo Fibonači skaitļus.[18]

Fibonači skaitļi dažreiz apzināti tiek lietoti arī mūzikā. Piemēram, tos savos darbos lietojis latviešu izcelsmes amerikāņu komponists Gundaris Pone.[19]

Arhitektūrā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Dažreiz Fibonači skaitļi un zelta spirāle (vai tās tuvinājums — Fibonači spirāle) apzināti tiek lietoti arhitektūrā. Piemēram:

  • Eden Project kompleksā ietilpstošās ēkas The Core[20] spirālveida jumts ir veidots imitējot dabā sastopamās formas[21] un tajā ir izmantotas Fermā spirāles, kuru skaits dažādos virzienos atbilst secīgiem Fibonači skaitļiem (21 un 34).[22] Ēka atrodas Anglijā un to 2006. gada 1. jūnijā atklāja anglijas karaliene.[23]

Literatūrā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Fibonači skaitļi vairākkārt pieminēti Dena Brauna sarakstītajā grāmatā "da Vinči kods",[26] taču ne visi grāmatā minētie fakti, kas saistīti ar Fibonači skaitļiem un zelta griezumu, ir patiesi.[27] Pirmo reizi Fibonači skaitļi parādās mistiskajā ziņojumā, ko atstājis mirušais Sofijas Nevē tēvs un kuru romāna galvenie varoņi Roberts Lengdons un Sofija Nevē cenšas atšifrēt:

13-3-2-21-1-1-8-5
O, Draconian devil!
Oh, lame saint!

Ja ziņojuma pirmajā rindiņā esošos skaitļus sakārto augošā secībā, iegūst Fibonači virknes pirmos locekļus. Līdzīgi, otrajā un trešajā rindiņā esošais teksts ir anagrammas vārdiem "Leonardo da Vinci" un "The Mona Lisa".

Ekonomikā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Fibonači skaitļus un zelta griezumu mēdz pielietot arī Forex valūtu tirgos, lai analizētu tirgu un prognozētu tā tālāko uzvedību, vai tieši pretēji — izvērtētu iepriekš notikušo attīstību.[28]

Vēsture[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lapa no Fibonači grāmatas Liber Abaci.

Fibonači skaitļi nosaukti par godu itāļu matemātiķim Fibonači (pazīstams arī kā Leonardo no Pizas). Tie pieminēti viņa grāmatā Liber Abaci, kas sarakstīta 1202. gadā (attēlā redzama lapa no šīs grāmatas — tās labajā pusē, rāmītī, ar sarkanu tinti uzrakstīti Fibonači virknes pirmie locekļi). Indiešu matemātiķiem Fibonači skaitļi bija zināmi vēl pirms tam.

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Eric W. Weisstein, Binet's Fibonacci Number Formula, MathWorld.
  2. 2,0 2,1 2,2 H.S.M., Coxeter (1989), Introduction to Geometry (2nd izd.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0471504580, 11.5 Phyllotaxis, 169. lpp.
  3. 3,0 3,1 Douady, S.; Couder, Y. (1996), "Phyllotaxis as a Dynamical Self Organizing Process", Journal of Theoretical Biology 178 (178): 255–274, doi:10.1006/jtbi.1996.0026.
  4. 4,0 4,1 Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990), The Algorithmic Beauty of Plants, Springer-Verlag, ISBN 9780387972978, 4. Phyllotaxis, 99. lpp.
  5. Ron Knott, Always Fibonacci?, December 16, 2008.
  6. Nikhat Parveen, Fibonacci in Nature.
  7. Alex, Scott, Alex, Fibo-site.
  8. Littler, William J. (1973), "On The Adaptability of Man's Hand (With Reference to the Equiangular Curve)", Hand 5: 187–191, doi:10.1016/0072-968X(73)90027-2.
  9. Ron Knott, Fibonacci Fingers?, December 16, 2008.
  10. Park, Andrew E.; Fernandez, John J.; Schmedders, Karl; Cohen, Mark S., "The Fibonacci Sequence: Relationship to the Human Hand", The Journal of Hand Surgery 28 (1): 157–160, doi:10.1053/jhsu.2003.50000.
  11. Hamilton, R.; Dunsmuir, R.A. (December 2002), "Radiographic Assessment of the Relative Lengths of the Bones of the Fingers of the Human Hand", The Journal of Hand Surgery 27 (6): 546–548, doi:10.1054/jhsb.2002.0822.
  12. 12,0 12,1 Jill Britton, Fibonacci Numbers in Nature, May 7, 2005.
  13. Eric W. Weisstein, Phyllotaxis, MathWorld.
  14. Lisa Zyga, Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature, PhysOrg.com, May 1, 2007.
  15. The Chinese Academy of Sciences, Fibonacci series on microstructures, PhysOrg.com, August 18, 2005.
  16. Ron Knott, Fibonacci Numbers and Nature, December 16, 2008.
  17. Lisa Zyga, Magnetic Cactus Experimentally Demonstrates Mathematical Plant Patterns, PhysOrg.com, May 20, 2009.
  18. Huylebrouck, Dirk; Gyllenberg, Mats; Sigmund, Karl (2000), "The Fibonacci Chimney", The Mathematical Intelligencer 22 (4): 46, ISSN 0343-6993.
  19. Baiba Kurpniece, Latviešu mūzikas citādības dimensija. Gundaris Pone, Mūzikas Saule, Aprīlis/Maijs 2005.
  20. Frederick Smith, Peter (2007), Sustainability at the Cutting Edge: Emerging technologies for low energy buildings (2nd izd.), Elsevier, ISBN 0750683007, 151. lpp.
  21. The Core, Eden Project.
  22. Marianne Freiberger, Rachel Thomas, Bridges: mathematical connections in art and music, plus.maths.org.
  23. David Rowe, The Queen to open the Eden Project's "Da Vinci Code Building", South West RDA, June 1, 2006.
  24. Fibonacci sequence fronts new nanoscience building at Bristol University, PhysOrg.com, June 5, 2008.
  25. Engineering Plaza - Cal Poly.
  26. Keith Devlin, Cracking The Da Vinci Code, June 26, 2004.
  27. Grāmatā minētais apgalvojums, ka sievišķā un vīrišķā dzimuma bišu skaitu attiecība bišu saimē ir vienāda ar zelta griezumu, nav patiess. Skatīt: Harold Thimbleby, “B–” for The da Vinci Code.
  28. Gartley cenu modeļi, wallstreet.lv.

Papildus literatūra[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Fibonači skaitļi dabā:

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Fibonači skaitļi:

Binē formula:

Fibonači skaitļi dabā:

Fibonači skaitļi citur: