Dalībnieks:GunaBrendaPogule/Smilšu kaste

Vikipēdijas lapa

Kvadrātsakne matemātikā ir otrās pakāpes sakne no skaitļa. Kvadrātsakne no skaitļa x ir skaitlis a, kuru, reizinot pašu ar sevi, iegūst skaitli x, tas ir, . Skaitli x sauc par skaitļa a kvadrātu. Kvadrātsaknes vilkšana ir pretējā darbība skaitļa celšanai kvadrātā. Piemēram, 4 un -4 ir kvadrātsakne no 16. Ikvienam nenegatīvam reālam skaitlim x ir unikāla nenegatīva kvadrātsakne, kuru sauc par galveno kvadrātsakni un apzīmē ar simbolu , kur radikāļa simbolu  sauc par saknes zīmi vai sakni. Piemēram, galvenā kvadrātsakne no 9 ir 3, to pieraksta šādi:  = 3, jo 32= 3 · 3 = 9 un 3 ir nenegatīvs skaitlis. Skaitli vai izteiksmi x, kas atrodas zem saknes zīmes, sauc par zemsaknes skaitli vai zemsaknes izteiksmi, šajā piemērā tas ir 9.

Ikvienam pozitīvam skaitlim ir divas kvadrātsaknes: , kas ir pozitīvs, un , kas ir negatīvs. Īsāk to var pierakstīt . Tomēr termins "kvadrātsakne" bieži tiek izmantots ar nozīmi galvenā kvadrātsakne . Pozitīvam x var lietot arī pakāpju pierakstu: x1/2 .

Lai runātu par kvadrātsakni no negatīva skaitļa, ir jāapskata kompleksie skaitļi. Vispārīgi kvadrātsakni var aplūkot jebkurā kontekstā, kurā matemātiskiem objektiem ir definēta kāpināšana, piemēram, matricu algebrā.

Trešās pakāpes sakni sauc par kubsakni.

Vēsture[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Babiloniešu māla plāksnīte YBC 7289 no Jeilas Babiloniešu kolekcijas tika izveidota starp 1800. un 1600. gadu pirms mūsu ēras. Tajā ir attēlota un kā skaitļi 1; 24; 51; 10 un 0; 42; 25; 35 skaitīšanas sistēmā ar bāzi 60 uz kvadrāta, kurā krustojas tā divas diagonāles.

Rinda papiruss ir 1650. gada pirms mūsu ēras agrāka Berlīnes papirusa un citu rakstu kopija (iespējams, Kahuna papirusa), kurā attēlots, kā ēģiptieši izvilka kvadrātsakni, izmantojot apgriezto proporcionalitāti.

Senajā Indijā zināšanas par kvadrāta un kvadrātsaknes teorētiskajiem un praktiskajiem aspektiem ir vismaz tik pat senas, cik Sulba Sūtras , ap 800. - 500. gadu pirms mūsu ēras (iespējams, daudz agrāk). Metode, lai atrastu ļoti labus tuvinājumus kvadrātsaknei no 2 un 3, ir izklāstīta Baudhayana Sūtrās. Ārjabhata savā darbā Aryabhatiya (nodaļā 2.4) ir izklāstījis metodi, kā atrast kvadrātsakni no skaitļiem ar daudz cipariem.

Senajiem grieķiem bija zināms, ka kvadrātsakne no pozitīviem veseliem skaitļiem, kuri nav precīzi kāda skaitļa kvadrāts, vienmēr ir iracionāli skaitļi - skaitļi nav izsakāmi kā divu veselu skaitļu attiecība, tas ir, tos nevar uzrakstīt kā m/n, kur m un n ir veseli skaitļi. Teorēma par šo ir aprakstīta Eiklīda "Elementi" 10. grāmatā, teorēmas autors ir matemātiķis Teatets no Atēnām apmēram 380 gadus pirms mūsu ēras. ir tieši kvadrāta ar malas garumu 1 diagonāles garums.

Ķīniešu matemātiskajā darbā Raksti par aprēķiniem, rakstīts starp 202. un 186. gadu pirms mūsu ēras, kvadrātsakne ir aproksimēta, lietojot "pārpalikumu un deficītu" metodi.

Kvadrātsaknes simbolu, uzrakstītu kā izsmalcinātu R, izgudroja Regiomontans (1436-1476). Šāds pieraksts, lai apzīmētu kvadrātsakni, tika lietots arī Džerolāmo Kardāno darbā Ars Magna.

Saskaņā ar matemātikas vēsturnieku D. E. Smitu, Ārjabhata metodi kvadrātsaknes atrašanai pirmo reizi Eiropā ieviesa Kataneo 1546. gadā.

Saskaņā ar Džofriju A. Oaku, arābi lietoja burtu  jīm/ĝīm (ج), tas ir pirmais burts no vārda “جذر” (tulkojums latviski: "sakne"), uzrakstītu tā sākotnējā formā (ﺟ) virs skaitļa, lai apzīmētu tā kvadrātsakni. Burts jīm atgādina pašreizējo kvadrātsaknes simbola formu. Tāds apzīmējums tika lietots līdz 12. gadsimta beigām Marokas matemātiķa Ibn al-Yasmin darbos.

Simbols kvadrātsaknes apzīmēšanai pirmo reizi drukātā darbā ticis lietots 1525. gadā Kristofera Rūdolfa darbā Coss.

Īpašības un lietojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Funkcijas grafiks, kas veidots no parabolas puses ar vertikālu direktrisi.

Galvenās kvadrātsaknes funkcija (parasti attiecināts uz "kvadrātsaknes funkcija") ir funkcija, kas reālo nenegatīvo skaitļu kopu attēlo par tādu pašu skaitļu kopu. Ģeometriskā interpretācija: kvadrātsaknes funkcija izsaka kvadrāta malas garumu, ja zināms ir tā laukums.

Kvadrātsakne no x ir racionāla tad un tikai tad, ja x ir racionāls skaitlis, kuru var attēlot kā divu racionālu skaitļu kvadrātu. Kvadrātsaknes funkcija racionālus skaitļus attēlo kā algebriskus skaitļus.

Visiem reāliem skaitļiem x:

Visiem reāliem nenegatīviem skaitļiem x un y:

un

Kvadrātsaknes funkcija ir nepārtraukta visiem nenegatīviem x un diferencējama visiem pozitīviem x. Ja f apzīmē kvadrātsaknes funkciju, tad tās atvasinājums ir:

Teilora rinda izteiksmei konverģē, kad , un ir dota:

Kvadrātsakne no nenegatīva skaitļa ir izmantota, lai definētu Eiklīda normu (un distanci), kā arī vispārinājumos, piemēram, Hilberta telpa. Tā definē svarīgu standartnovirzes koncepciju, kuru izmanto varbūtību teorijā un statistikā. Tai ir liela nozīme formulās, lai atrastu kvadrātvienādojumu saknes. Kvadrātu laukiem un kvadrātisko skaitļu gredzeniem (ko?), kas ir balstīt uz kvadrātsaknēm, ir svarīgi algebrā un ir lietojumi ģeometrijā. Kvadrātsaknes bieži parādās arī citās matemātikas formulās, kā arī fizikas likumos.

Aprēķināšana[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pārsvarā kalkulatoriem ir kvadrātsaknes poga. Tāpat arī kvadrātsaknes aprēķināšanai bieži izmanto datora izklājlapas un citas programmatūras. Parastajiem kalkulatoriem parasti ir ieviestas efektīvas procedūras, piemēram, Ņūtona metode (bieži ar sākotnējo pieņēmumu 1), lai aprēķinātu kvadrātsakni no pozitīva reāla skaitļa. Rēķinot kvadrātsakni ar logaritma tabulām vai logaritmiskajiem lineāliem, katrs var izmantot identitātes

kur ln un log10 ir naturālais logaritms un decimālais logaritms (ar bāzi 10).

Lai atrastu kvadrātsakni , var lietot metodi, kurā aptuveni aplēš tās vērtību un tad to palielināt vai samazināt.Šai tehnikai noderīgi ir lietot identitāti

tā ļauj piemērot novērtēto x vērtību par noteiktu daudzumu c un aprēķināt piemērotās vērtības kvadrātu saistībā ar sākotnēji novērtēto vērtību x un tā kvadrātu. Turklāt (x + c)2 ≈ x2 + 2xc, kad c ir tuvu 0, jo grafika x2 + 2xc + c2 tangensiālā līnija punktā c=0 ir y = 2xc + x2. Līdz ar to nelielas x vērtības izmaiņas var būt paredzamas pie nosacījuma, ka a = 2xc jeb c = a/(2x).

Kvadrātsaknes aprēķināšanā ar roku visbiežākā iteratīvā metode ir zināma kā "Babilonijas metode" jeb "Hērona metode", kuru pirmais aprakstīja sengrieķu matemātiķis Hērons. Šajā metodē tiek izmantota tāda paša iteratīvā shēma kādu dod Ņūtona metode, ja to piemēro funkcijai  y = f(x) = x2 − a, izmantojot to, ka tās slīpums katrā punktā ir dy/dx = f(x) = 2x. Algoritms ir atkārtot vienkāršu aprēķinu, kā rezultātā rodas skaitlis, kas ir tuvāks patiesajai kvadrātsaknes vērtībai katru reizi, kad aprēķins tiek atkārtots ar jau iegūto rezultātu. Motivācija ir tāda, ka, ja x ir pārvērtēta kvadrātsaknes vērtība, tad a/x būs pārāk zems novērtējums, un vidējais aritmētiskais no šiem diviem skaitļiem būs labāks tuvinājums patiesajai kvadrātsaknes vērtībai, nekā jebkurš no tiem atsevišķi. Tomēr nevienādība starp aritmētisko un ģeometrisko vidējo parāda, ka vidējā vērtība vienmēr būs pārvērtēta kvadrātsaknes vērtība, un to var izmantot kā jaunu pārvērtēto vērtību, lai atkārtotu algoritmu, kas konverģē uz secīgi pārvērtētām un nepietiekami novērtētām vērtībām, kas tuvojas viena otrai pēc katra algoritma atkārtojuma.