Ar kamaniņu braukšanu nodarbojas kopš 1998. gada. Sākotnēji J. Šics startēja vieninieku sacensībās, taču divus gadus pirms 2006. gada Turīnas olimpiskajām spēlēm sāka startēt kopā ar brāli Andri Šicu.[1] Kamanās J. Šics startē apakšā.[1]
Kopā ar brāli piedalījies trijās ziemas olimpiskajās spēlēs (2006, 2010, 2014). 2006. gadā Turīnā ieņēmuši 7. vietu divnieku sacensībās, pēc četriem gadiem Vankūverā izcīnīja otro vietu (sudraba medaļu), kas bija pirmā sudraba medaļa Latvijai ziemas olimpiskajās spēlēs pēc neatkarības atjaunošanas.[2] 2014. gadā Sočos izcīnījuši bronzas medaļu divniekos, tādējādi kļūstot par pirmajiem latviešiem, kas ziemas olimpiskajās spēlēs izcīnījuši vairāk nekā vienu medaļu.[3] Nākamajā dienā Latvijas komandas sastāvā tika izcīnīta bronzas medaļa arī komandu stafetē.
Pasaules čempionātos brāļi Šici ir izcīnījuši trīs bronzas medaļas jauktajā stafetē (2008, 2009, 2013) un vienu divniekos (2011),[4] Eiropas čempionātos ir izcīnījis 2 zelta un vienu sudraba un vienu bronzas medaļu jauktajā stafetē.