Maksvela vienādojumi

Fizikā Maksvela vienādojumi ir četru diferenciālvienādojumu sistēma, kas apraksta elektromagnētisko lauku vakuumā. Tie raksturo elektriskā un magnētiskā lauka savstarpējo mijiedarbību, kā arī to saistību ar elektrisko lādiņu un strāvas blīvumu. Šos vienādojumus 1861. gadā atklāja skotu fiziķis un matemātiķis Džeimss Maksvels.

Integrālie Maksvela vienādojumi

Integrālie Maksvela vienādojumi ir elektromagnētiskā lauka teorijas postulāti.

1. $\oint _{l}{\vec {E}}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}\$ un $\Phi =\int _{S}{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}\$
2. $\oint _{S}{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}=0\$
3. $\oint _{l}{\vec {B}}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}(I+I_{D})\$ un $N=\int _{S}{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}\$
4. $\oint _{S}{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}$

Šiem integrālajiem vienādojumiem mēdz pievienot vēl arī elektriskā lādiņa nezūdamības likumu

1. $I=-{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}\$

Vienādojumu sistēmas pāri

Vienādojumu sistēma sastāv no diviem vienādojumu pāriem.

• Pirmais vienādojumu pāris (1. un 2.) ir homogēni vienādojumi vektoriem ${\vec {E}}\$ un ${\vec {B}}\$. Šie vienādojumi ir spēkā visiem elektromagnētiskajiem laukiem neatkarīgi no tā, kādi ir to avoti (t.i., lādiņi un strāvas)
• Otrs vienādojumu pāris (3. un 4.) ir nehomogēni vienādojumi: tie satur lauka avotus $q\$ un $I\$, kurus savstarpēji saista lādiņa nezūdamības likums (5.).

Maksvela vienādojumu fizikālais saturs

• Pirmajā un trešajā vienādojumā ${\vec {E}}\$ un ${\vec {B}}\$ cirkulāciju aprēķina pa jebkuru patvaļīgu slēgtu kontūru $l\$, bet magnētiskās indukcijas plūsmu $\Phi \$, elektriskās intensitātes plūsmu $N\$ un lādiņnesēju plūsmu $I\$ aprēķina pa atvērtu virsmu $S\$.
• Otrajā un ceturtajā vienādojumā ir aprēķināts magnētiskās indukcijas ${\vec {B}}\$ un elektriskās intensitātes ${\vec {E}}\$ plūsmas caur jebkuru slēgtu viensakarīgu virsmu $S\$, bet $q\$ ir pilnais elektriskais lādiņš virsmas $S\$ ierobežotajā tilpumā. (Šī virsma $S\$ tātad nav un nevar būt tā pati, kas pirmajā un trešajā vienādojumā!)

Maksvela vienādojumu empīriskie fakti vai likumsakarības

Katrs no postulētajiem integrālajiem vienādojumiem atbilst konkrētam empīriskajam faktam vai likumsakarībai, kurus apstiprina eksperimenti.

• Pirmais vienādojums izsaka elektromagnētiskās indukcijas likumu.
• Otrais vienādojums izsaka apgalvojumu, ka magnētiskās indukcijas līnijas vienmēr ir noslēgtas.
• Trešais vienādojums saista magnētisko lauku ar tā iespējamiem avotiem - strāvu $I\$ un nobīdes strāvu $I_{D}\$.
• Ceturtais vienādojums ir Gausa teorēma elektriskajam laukam.

Maksvela diferenciālvienādojumi

No Maksvela integrālajiem vienādojumiem, kuri ir spēkā galīgam tilpumam $V\$, virsmai $S\$ un kontūram $l\$ var iegūt atbilstošus diferenciālvienādojumus. Tie saista vektorus ${\vec {E}}\$ un ${\vec {B}}\$ katrā telpas punktā, jebkurā laika momentā un tāpēc ir noteiktā nozīmē vispārīgāki nekā integrālie vienādojumi.

Lai iegūtu Maksvela diferenciālvienādojumus ${\begin{cases}\ rot{\vec {E}}=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\\\ div{\vec {B}}=0\end{cases}}\$ ${\begin{cases}\ rot{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\\\ div{\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\end{cases}}\$ , integrālie vienādojumi jāpārveido tā, lai to abās pusēs būtu integrāļi pa vienu un to pašu apgabalu - virsmu vai tilpumu. Šādi pārveidotām zemintegrāļa izteiksmēm integrālo vienādojumu kreisajā un labajā pusē jābūt vienādām, jo integrēšanas apgabals ir patvaļīgs. Zemintegrāļu izteiksmju vienādības ir meklētie diferenciālvienādojumi. Integrālo vienādojumu pārveidošanai izmanto Stoksa un Ostrogradska - Gausa teorēmas.

Pirmais Maksvela diferenciālvienādojums

Pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst no integrālā vienādojuma $\oint _{l}{\vec {E}}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}\$. Šeit plūsma $\Phi =\int _{S}{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}\$ ir aprēķināta virsmai $S\$, kuru aptver noslēgts kontūrs $l\$. Vienādojuma kreiso pusi pārveido , izmantojot Stoksa teorēmu: $\oint _{l}{\vec {E}}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\int _{S}rot{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}\$ Labajā pusē mainam atvasināšanas un integrēšanas secību, ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{S}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\mathrm {d} {\vec {S}}\$. Šo pārveidojumu rezultātā iegūstam, ka $\int _{S}rot{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}=-\int _{S}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\mathrm {d} {\vec {S}}\$

Pielīdzinot zemintegrāļa izteiksmes vienu otrai, iegūst pirmo Maksvela diferenciālvienādojumu $rot{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\$

Otrais Maksvela diferenciālvienādojums

Otrā Maksvela diferenciālvienādojuma uzrakstīšanai izmanto Ostrogradska - Gausa teorēmu integrālam vienādojumam $\oint _{S}{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}=0\$, proti, nosacījumam, ka magnētiskā plūsma caur jebkuru noslēgtu virsmu $S\$ ir vienāda ar nulli. Patvaļīgam tilpumam $V\$ $\int _{V}div{\vec {B}}\mathrm {d} V=0\$. No tā izriet otrais Maksvela diferenciālvienādojums

$div{\vec {B}}=0\$

Trešais Maksvela diferenciālvienādojums

Trešo Maksvela diferenciālvienādojumu iegūst analogi pirmā diferenciālvienādojuma pārveidošanai $\oint _{l}{\vec {B}}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}(I+I_{D})\$, kur strāva $I=\int _{S}{\vec {j}}\mathrm {d} {\vec {S}}\$ un vektora ${\vec {E}}\$ plūsma $N=\int _{S}{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}\$ ir saķēdēta ar kontūru $l\$, kas savukārt ietver virsmu $S\$. Izmantojot Stoksa teorēmu magnētiskās indukcijas cirkulācijai, $\oint _{l}{\vec {B}}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\int _{S}rot{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}$. Lietojot strāvas tilpuma blīvuma formulu ${\vec {j}}=\rho {\vec {v}}\$, strāvu var uzskatīt par lādiņnesēju plūsmu caur virsmu $S\$, kuras robežkontūrs $l\$. Mainot atvasināšanas un integrēšanas secību vienādojuma labās puses otrajā saskaitāmajā, var atrast, ka $\int _{S}rot{\vec {B}}\mathrm {d} {\vec {S}}=\mu _{0}\int _{S}{\vec {j}}\mathrm {d} {\vec {S}}+\epsilon _{0}\mu _{0}\int _{S}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\mathrm {d} {\vec {S}}\$ un tātad iegūstam trešo Maksvela diferenciālvienādojumu

$rot{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\$

Ceturtais Maksvela diferenciālvienādojums

Ceturto Maksvela diferenciālvienādojumu uzraksta, izmantojot Gausa teorēmu $\oint _{S}{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}\$. Noslēgtas virsmas $S\$ ierobežotā tilpumā $V\$ lādiņš $q=\int _{V}\rho \mathrm {d} V\$ ($\rho \$ ir tilpuma lādiņa blīvums). Pārveidojot elektriskās intensitātes plūsmu pēc Ostrogradska-Gausa teorēmas, $\oint _{S}{\vec {E}}\mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{V}div{\vec {E}}\mathrm {d} V\$, varam uzrakstīt, ka $\int _{V}div{\vec {E}}\mathrm {d} V=\int _{V}{\frac {\rho \mathrm {d} V}{\epsilon _{0}}}\$.

Tātad, rezultātā iegūstam pēdējo, ceturto Maksvela diferenciālvienādojumu: $div{\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\$

Maksvela diferenciālvienādojumu interpretācija vektorlauka teorijas jēdzienos

• Pirmais vienādojums elektriskā lauka intensitātes rotoram ir elektromagnētiskās indukcijas likums diferenciālā formā: laikā mainīgs magnētiskais lauks ${\vec {B}}\$ inducē elektrisko virpuļlauku ${\vec {E}}\$. Ja magnētiskā lauka nav vai arī ja tas ir stacionārs, tad $rot{\vec {E}}=0\$ un elektriskais lauks ir potenciāls lauks. Potenciālu elektrisko lauku rada nekustīgi elektriskie lādiņi. Ja tie izvietoti tilpumā tā, ka to blīvums ir $\rho \$, elektriskā lauka intensitāti nosaka ceturtais Maksvela vienādojums, $div{\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\$. Saskaņā ar šo vienādojumu intensitātes līnijas izplūst no telpas punktiem, kuros lādiņa blīvums ir pozitīvs ($\rho >0\$), bet ieplūst punktos, kuros tas ir negatīvs ($\rho <0\$).
• Otrais Maksvela vienādojums, $div{\vec {B}}=0\$, ir magnētiskā lauka solenoidalitātes nosacījums; ${\vec {B}}\$ līnijas vienmēr ir noslēgtas: tām nav izteču un noteču.
• Trešais Maksvela vienādojums saista magnētisko lauku ar tā avotiem: 1) strāvu, kuras blīvums ir ${\vec {j}}\$, un 2) laikā mainīga elektriskā lauka atvasinājumu ${\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\$.
• Ceturtā Maksvela vienādojumu interpretāciju skatīt pie pirmā Maksvela vienādojuma interpretācijas.

Maksvela vienādojumi koordinātās

Maksvela vienādojumus var uzrakstīt arī koordinātās. Piemēram, Dekarta koordinātās iegūstam astoņus parciālos diferenciālvienādojumus trim elektriskās intensitātes koordinātām $E_{x}\$, $E_{y}\$, $E_{z}\$ un trim magnētiskās indukcijas koordinātām $B_{x}\$, $B_{y}\$, $B_{z}\$:

${\begin{cases}\ {\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial B_{x}}{\partial t}}\\\ {\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial B_{y}}{\partial t}}\\\ {\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}=-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial B_{z}}{\partial t}}\end{cases}}\$

${\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial B_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial B_{z}}{\partial z}}=0\$

${\begin{cases}\ {\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial B_{y}}{\partial z}}=\mu _{0}j_{x}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}\\\ {\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}=\mu _{0}j_{y}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}\\\ {\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}=\mu _{0}j_{z}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}\end{cases}}\$

${\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\$

Maksvela vienādojumi nav jebkuru elektromagnētisko procesu vienādojumi

Maksvela vienādojumi ir elektromagnētiskā lauka dinamikas vienādojumi. Tomēr tie nav jebkuru elektromagnētisko vai elektrodinamisko procesu vienādojumi, un, piemēram, no tiem neizriet lauka avotu - lādiņu (vai, precīzāk sakot, lādiņnesēju) kustības likumi elektriskajā un magnētiskajā laukā. Tie jāformulē īpaši, iepriekš noskaidrojot, kādi ir spēki un momenti, kuri uz lādiņnesējiem un strāvas vadītājiem darbojas elektriskajā un magnētiskajā laukā.

Papildu literatūra

• Platacis, Jānis (1974), Elektrība, Zvaigzne.
• Fleisch, Daniel A. (2008), A student's guide to Maxwell's equations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-52-170147-1.
• Huray, Paul G. (2009), Maxwell's Equations, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-47-054276-7.

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Maxwell Equations, scienceworld.wolfram.com (angliski)
• Maxwell's Equations, Hyperphysics (angliski)